Ряд Котельникова

Если — произвольный сигнал, спектральная плотность которого отлична от нуля лишь в полосе частот то его можно разложить в обобщенный ряд Фурье по базису Котельникова:

(5.14)

Коэффициентами ряда служат, как известно, скалярные произведения разлагаемого сигнала и отсчетной функции:

(5.15)

Удобный способ вычисления этих коэффициентов заключается в применении обобщенной формулы Рэлея. Легко проверить, что отсчетная функция в пределах отрезка имеет спектральную плотность, равную

Это видно из сравнения формул (5.3) и (5.13).

Тогда, если — спектр изучаемого сигнала то

(5.16)

Величина в фигурных скобках есть не что иное, как т. е. мгновенное значение сигнала в отсчетной точке

Таким образом,

(5.17)

откуда следует выражение ряда Котельникова:

(5.18)

Формулировка теоремы Котельникова

Теорему Котельникова на основании последнего равенства принято формулировать так: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше Гц. может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени с.

Пример 5.1.Дан сигнал

Выбрав некоторый фиксированный интервал между отсчетами получаем возможность однозначно восстановить по отсчетам любой сигнал, спектр которого не содержит составляющих на частотах выше граничной частоты

Однозначное восстановление сигнала возможно

Если то к рассматриваемому гармоническому сигналу применима теорема Котельникова; отсчетные значения (выборки) данного сигнала

В предельном случае, когда частота стремится к слева, т. е.

на каждый период гармонического сигнала должно приходиться ровно две выборки.

Если же условия теоремы Котельникова нарушаются и отсчеты во времени берутся недостаточно часто, то однозначное восстановление исходного сигнала принципиально невозможно. Через отсчетные точки можно провести бесчисленное множество кривых, спектральные плотности которых отличны от нуля вне полосы