Связь между спектрами сигнала и его комплексной огибающей

Пусть — спектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала который, в свою очередь, имеет спектральную плотность Нетрудно видеть, что

(5.36)

Таким образом, спектральная плотность узкополосного сигнала может быть найдена путем переноса спектра комплексной огибающей из окрестности нулевой частоты в окрестности точек Амплитуды всех спектральных составляющих сокращаются вдвое; для получения спектра в области отрицательных частот используется операция комплексного сопряжения.

Формула (5.36) полезна тем, что по известному спектру узкополосного сигнала позволяет найти спектр его комплексной огибающей, которая, в свою очередь, определяет физическую огибающую и мгновенную частоту сигнала.

Физическая огибающая действительно «огибает» узкополосный сигнал и имеет смысл мгновенной амплитуды такого колебания

Пример 5.5.Узкополосный вещественный сигнал имеет при спектральную плотность, несимметричную относительно частоты

На основании формулы (5.36) спектральная плотность комплексной огибающей

Используя обратное преобразование Фурье, находим комплексную огибающую

Синфазную и квадратурную амплитуды исследуемого сигнала найдем, выделив вещественную и мнимую части:

Физическая огибающая рассматриваемого сигнала

Мгновенная частота

имеет наибольшее значение, равное в момент времени .

Осциллограмма колебания представляет собой симметричный радиоимпульс с не постоянной во времени частотой заполнения.

Выводы:

Ширина спектра узкополосного сигнала значительно меньше центральной частоты. Узкополосные сигналы являются квазигармоническими — их амплитуда и частота в общем случае медленно изменяются во времени.

Понятие комплексной огибающей обобщает понятие комплексной амплитуды на случай узкополосных сигналов.

Физическая огибающая равна модулю комплексной огибающей. Ее вид не зависит от выбора опорной частоты сигнала.

Мгновенная частота узкополосного сигнала есть сумма опорной частоты и производной по времени от аргумента комплексной огибающей.

Спектр узкополосного сигнала получается путем переноса спектра его комплексной огибающей на отрезок, численно равный значению опорной частоты.