Ортогональные сигналы с ограниченным спектром

Свойство ограниченности спектра позволяет находить интересные и важные классы ортогональных сигналов. Простейший пример — два ортогональных полосовых сигнала, области существования спектра которых не пересекаются. Равенство нулю скалярного произведения этих сигналов непосредственно следует из обобщенной формулы Рэлея.

Менее очевидный способ ортогонализации сигналов с ограниченным спектром заключается в их временном сдвиге. Рассмотрим два идеальных низкочастотных сигнала и Оба эти сигнала имеют одинаковые параметры и [см. формулу (5.2)], однако сигнал запаздывает по отношению к сигналу на время так что его спектральная плотность

Скалярное произведение этих сигналов, вычисленное через спектральные плотности,

(5.7)

Скалярное произведение обращается в нуль и два одинаковых по форме ИНС оказываются ортогональными, если временной сдвиг между ними удовлетворяет условию

Минимально возможный сдвиг, приводящий к ортогонализации, получается при

(5.8)

Принципиально важно, что удалось не просто добиться ортогональности двух сигналов. Указан путь построения бесконечного ортогонального базиса, который может служить координатной системой для разложения произвольного сигнала со спектром, ограниченным частотой

Графики рассматриваемых сигналов при двух значениях параметра t₀ изображены на рис. 5.1, а, б.

Рис. 5.1. График двух идеальных низкочастотных сигналов:

а – при б – при

В момент времени, когда один из сигналов достигает максимума, другие сигналы из данного семейства проходят через нуль