Свойства основных операций над событиями

№ п.п.	Умножение событий	Сложение событий

Три действия: формирование противоположного события, сложение и умножение событий составляют алгебру событий, а их свойства, перечисленные в табл. 1, - законыалгебры событий. Законы под номером 1 называются коммутативными, 2 – ассоциативными, 3 – дистрибутивными, 10 - законами де Моргана[2].

Для нескольких операндов свойство дистрибутивности умножения относительно сложения и сложения относительно умножения имеет вид

, (9)

(10)

а законы де Морганапредставляются следующими соотношениями

, . (11)

Примечательно, что третий столбец табл. 1 можно получить из второго заменой операции сложения на операцию умножения событий с одновременной заменой достоверного события на невозможное и невозможного события на достоверное. Таким же образом получается второй столбец из третьего. Это свойство законов алгебры событий называется принципом двойственности.

Для количественной оценки возможности осуществления событий используют функцию вероятности. Аргументом этой функции является событие, а ее значение – неотрицательное число. Функция вероятности может быть определена на основе следующих подходов:

1. определение вероятности на основе элементарного понятия равновозмож­ности (классическое определение вероятности);

2. определение вероятности как доли длины, площади, объема и т.д. (геометрическое определение вероятности);

3. аксиоматическое определение вероятности;

4. определение вероятности как частоты появления события при большом количестве испытаний (статистическое определение вероятности).

Перейдем теперь к рассмотрению способов определения вероятности событий.

Контрольные вопросы

1. Что такое событие?

2. Что такое достоверное событие?

3. Что такое невозможное событие?

4. Дайте определение операции сложения двух событий.

5. Дайте определение операции умножения двух событий.

6. Дайте определение операции вычисления разности двух событий.

7. Дайте определение операции образования противополож­но­го события.

8. Какие события называются несовместными, а какие совместными?

9. Что означает утверждение «событие А раскладывается на частные случаи В₁, В₂, …, В_п »?

10. В каком случае события образуют полную группу событий?

11. Охарактеризуйте множество событий, составляющих поле событий.

2. Вычисление вероятностей

2.1. Классическое определение вероятности событий

1.1. Классическая схема испытаний

Предположим, что в результате испытания происходит только одно из элементарных равновозможныхсобытий . Это означает, что достоверное событие составляет сумма

, (1)

где , если (в одном испытании не может быть двух разных исходов).

События называют также результатами испытаний. Множество элементарных событий обозначим тем же символом , которым обозначалось достоверное событие.

Понятие равновозможности является основополагающим и не выводится из каких-либо других понятий. Вероятность осу­щест­вления каждого из этих элементарных событий считается одинаковой и принимается равной

. (2)

С учетом определения (2) события множества называются также равновероятными. На основе множества элементарных событий образуем поле событий , применяя к элементарным событиям множества операции формирования противоположного события, сложения и произведения событий.

Пусть событие представляется суммой элементарных событий из множества

, (3)

где индексы , т.е. каждое событие является одним из элементарных событий. Элементарные события, составляющие сумму (3), называют результатами испытаний, благоприятст­вую­щими событию . Число таких событий обозначим символом . Тогда вероятность события вычисляется по формуле

. (4)

Пример (на классическое вычисление вероятности).

Определить вероятность выпадения четного числа очков при бросании игральной кости.

При бросании игральной кости, возможны 6 (n=6) равновероятных исходов: , где индекс символа испытания указывает выпавшее число. Событие выпадения четного числа очков представляется суммой трех элементарных событий (m=3)

.

Таким образом .

1.2. Свойства функции вероятности, определенной по классической схеме

Вероятность, определенная по формуле (1.1.4) обладает следующими свойствами.

1. Для каждого события поля

. (1)

2. Для достоверного события

. (2)

3. Если событие подразделяется на частные случаи и (т.е. ), то

. (3)

Первые два свойства очевидны. Докажем третье.

Доказательство

Пусть - число элементарных событий, благоприят­ству­ющих событию , - число элементарных событий, благоприятствующих событию , - число всех элементарных событий.

Поскольку события и несовместны, то не существует событий одновременно благоприятствующих и , и . Это значит, что число событий, благоприятствующих или или равно , т.е.

, n

Свойство (3) иногда формулируется как теорема сложения вероятностей.

4. Вероятность события , противоположного , равна

. (4)

Доказательство

Так как

и ,

то

.

Следовательно,

. n

5. Вероятность невозможного события равна 0, т.е.

. (5)

Доказательство

Так, как

и ,

то

.

Следовательно,

. n

6. Если событие влечет за собой событие , т.е.

, то . (6)

Доказательство

Пусть - число элементарных событий, благоприят­ствую­щих событию , а - число элементарных событий, бла­го­приятст­вующих событию . В число входят события, составляющие число , но возможно еще какие-либо. Поэтому . Следовательно, или [3]. n

7. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей

. (7)

Доказательство

Так, как , то . n

Заменяя в последнем соотношении и на 0 и 1 соответственно (см. формулы (5) и (2)), получим соотношение (7).n

При решении задач, связанных с вычислением класси­ческой вероятности, бывает необходимым исполь­зование поня­тий и формул комбинаторики. Перейдем к рассмотрению основ­ных понятий комбинаторики: перестановка, сочетание и размещение.

Контрольные вопросы

1. В чем состоит классический способ вычисления вероятности событий?

2. Чему равна вероятность невозможного события?

3. Чему равна вероятность достоверного события?

4. Как выразить вероятность суммы двух несовместных со­бытий, используя вероятности каждого из них в отдельнос­ти?

5. Как связаны вероятности двух взаимно противополож­ных событий?

2. Элементы комбинаторики

2.1. Перестановки

Пусть рассматривается n различных символов. Их запись, например, через запятую называется перестановкой. Каждому символу в перестановке можно сопоставить его порядковый номер в ней, начиная с первого. Две перестановки из одного и того же числа одинаковых символов называются одинаковыми, если каждый из n символов занимает положение в перестановке с одним и тем же номером (одно и то же место). В противном случае, перестановки считаются различными.

Какое число различных перестановок можно получить, изменяя места расположения символов? Для ответа на этот вопрос приведем следующие рассуждения. Имея различных символов можно на первое место поставить по очереди каждый из них в отдельности. В этом случае образуется различных групп перестановок. Каждая такая группа перестановок имеет одну и ту же черту - одинаковый символ, стоящий на первом месте. После фиксации положения одного символа на первом месте на второе место можно поставить любой из оставшихся символов, что составляет возможность. Последова­тельность этих рассуждений можно продолжить до тех пор, пока не будут зафиксированы символов, и последний оставшийся можно будет расположить только единственным способом на месте с номером . Таким образом, общее число возможных перестановок n различных символов составляет

. (1)

Пример. Сколькими способами можно расставить на полке 10 книг?

Решение. Существует различных спосо­бов расстановки 10 книг на полке.

Контрольные вопросы

1. Что такое перестановка из различных элементов?

2. Какие две перестановки считаются различными?

3. Как вычислить максимальное число различных перес­тановок из различных элементов?

2.2. Сочетания

Рассмотрим те же различных символов (элементов[4]). Однако сейчас их взаимное расположение не является существенным. Т.е. эти символы рассматриваются как элементы множества. Пусть из множества, состоящего из символов, требуется сформи­ровать подмножества из меньшего числа тех же символов. Каждое из таких подмножеств называется сочетаниемиз элементов по и их количество обозначается как . Сколько различных таких подмножеств можно составить? Два сочетания считаются различными, если они состоят или из разного количества элементов или если в состав одного из них входит хотя бы один элемент, отсутствующий во втором.

Теорема

. (1)

Доказательство

Применим метод математической индукции. Число сочетаний из элементов по , очевидно, равно , т.е. . Непосредственной подстанов­кой можно проверить, что в этом случае формула (1) выполняется. Предположим, что формула (1) выполняется вплоть до некоторого значения . Покажем ее справедливость при . Рассмотрим произволь­ное сочетание из множества . Его можно дополнить до со­че­та­ния из элементов по всего способами. Эту операцию можно осуществить со всеми сочетаниями из числа . Таким образом можно получить сочетания из элементов по элементу в каждом способами. Среди этих сочетаний, состоящих из элементов, будут встречаться одинаковые. В силу симметрии число одинаковых сочетаний для каждого типа сочетаний будет одним и тем же. Подсчитаем число повторяющихся сочетаний. Для сочетания определенного типа выберем мысленно одно из вновь образованных сочетаний с элементами. Сочетания с элементами, на основе которых будут получены такие же новые сочетания с элементами, могут быть получены поочередным выкидываем одного элемента. Легко сообразить, что их число составит . Таким образом, число различных сочетаний из элементов по составит

. n

Пример 1. (на методику формирования поля событий ).

Пусть группа равновероятных исходов испытаний состоит из трех событий . Поле событий состоит из следующих восьми элементов: , , , , , . Подсчет количества элементов поля событий осуществляется по формуле

.

Заменяя первые два слагаемых последнего равенства сочетаниями, получаем

,

где и .

Очевидно, что для слу­чая событий поле событий включает в себя элемен­тов, так как справедливо следующее равенство

(2)

Пример 2. Среди 100 фотографий есть одна разыскиваемого преступника. Наудачу выбирают 10 фотографий. Какое количество сочетаний по 10 фотографий, содержащих фотографию разыскиваемого преступника, существует?

Решение. Если убрать одну фотографию преступника, то останется 99 фотографий. Составим всевозможные сочетания из 99 фотографий по 9 в каждом и добавим к каждому сочетанию фотографию преступника. В результате получим искомое множество. Таким образом, всего существует сочетаний.

Контрольные вопросы

1. Что такое сочетание из п различных элементов, содержащее элементов?

2. Какие два сочетания считаются различными?

3. Как определить максимальное число различных сочетаний из п различных элементов по т элементов в каждом?

4. Как определяется символ 0! ?

2.3. Размещения

Определение. Любой упорядоченный набор различных элементов, взятых из множества, состоящего из элементов, называется размещением.

Для каждого из сочетаний существует различных размещений. Следовательно, число размещений из элементов по составляет

. (1)

Пример. В соревновании участвуют 8 команд. Какое количество различных способов распределения первых трех мест существует?

Решение. .

Контрольные вопросы

1. Что такое размещение из различных элементов, содержащее элементов?

2. Какие два размещения считаются различными?

3. Как вычислить максимальное число различных раз­ме­щений из различных элементов по элементов в каждом?

2.4. Формула Стирлинга

Для приближенного вычисления факториала в случае больших значений аргумента используется формула Стирлинга[5][10]

. (1)

2.5. Формула бинома Ньютона

Примечательно, что числа сочетаний из элементов по являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона[9]

. (1)

При этом так как , то

. (2)

§ 3. Геометрическое определение вероятности событий

Во многих случаях применение классического способа вычисления вероятности оказывается невозможным по причине бесконечного числа возможных исходов испытаний. Например, пусть в результате испытания внутри круга радиусом размещается точка (см. рис. 1). Предположим, что вероятность попадания точки в область Ц, составляющую часть круга, не зависит от формы и положения этой области, а зависит только от ее площади. Тогда естественно определить вероятность попадания точки в область Ц как

, (1)

где - площадь области Ц.

Рис. 1. Геометрический способ вычисления вероятности

Аналогичная ситуация возникает в задаче о встрече. Два человека договорились встретиться в определенном месте между 12 часами и часом. Человек, пришедший первым, ждет другого 20 минут и уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанного часа происходит случайно и моменты прихода независимы.

Решение

Пусть - время прихода лица , - время прихода лица . Встреча состоится, если

. (2)

Представим задачу графически в Декартовой системе координат, в которой по оси Х отложим время х прихода лица А, а по оси Y – время y прихода лица В (рис. 2).

Приход лиц и в назначенное место встречи описывается случайной точкой в квадрате на указанной плоскости со стороной 60 мин. Событие "встреча" соответствует попаданию точки в область, определяемую неравенством (2). Более подробно это неравенство можно записать в виде:

если , то

или

если , то .

Эта область на рисунке заштрихована.

Рис. 2. Геометрический способ вычисления вероятности в задаче о встрече

Вероятность встречи можно вычислить как отношение площади заштрихованной области к площади квадрата, т.е.

.

Приведенные примеры можно использовать при решении задач, в которых целесообразно применение геометрического способа вычисления вероятности.

Контрольные вопросы

1. В чем состоит геометрический способ вычисления вероятности событий?

§ 4. Аксиоматическое определение вероятности событий

4.1. Аксиоматическое построение теории вероятностей

Аксиоматическое построение теории вероятностей было предложено А. Н. Колмогоровым [3]. Исходным понятием этой теории является множество различных элементов, называемых элементарнымисобы­тиями. Это множество может быть конечным или бесконечным, несчетным или счетным. В последнем случае его можно записать в виде последова­тель­ности

,

где ( ) – элементарное событие.

На основе него строится множество подмножеств множества . Элементы множества называют случайными событиями. Над ними определяют действия сложения, умножения и взятия противоположного события. Суммой двух множеств является множество элементов, каждый из которых является элементом хотя бы одного из складываемых множеств. Произведением двух множеств (событий) называется множество элементов, каждый из которых входит в состав каждого из перемножаемых множеств. Противо­положным множеству называется множество , состоящее из всех элементов множества , не являющихся элементами множества . В состав множества включают также пустое множество , не содержащее ни одного элемента.

На множестве определяется функция вероятности , удовлетворяю­щая следующим аксиомам.

Аксиома 1. Каждому случайному событию ставится в соответствие неотрицательное число

, (1)

называемое его вероятностью.

Аксиома 2. . (2)

Аксиома 3. Если события попарно несовместны, т.е. (где и ), то

. (3)

4.2. Свойства функции вероятности

Из этих аксиом получаются следующие следствия:

(см. формулу (1.2.4)); (1)

(см. (1.2.5)); (2)

то (см. формулу (1.2.6)); (3)

(см. формулу (1.2.7)); (4)

(5)

Формула (5) называется теоремой сложения вероятностей произвольных событий.

. (6)

Настоящее свойство следует из свойств, выраженных соотношениями (5) и (3).

1. Обобщая свойство (6) на произвольное число событий, получаем

. (7)

Отметим сначала, что свойства 1-3 классической функции вероятности, представленные формулами (1.2.1)–(1.2.3), составляют содержание аксиом и выполняются автоматически. Приступим к доказательству остальных свойств функции вероятности.

1. .

Доказательство

Очевидно

.

Т.к.

,

то

.

Следовательно,

. n

2. .

Доказательство

Очевидно

.

Т.к.

,

то

. n

3. Если , то .

Доказательство

Пользуясь свойствами операций над событиями, приведенными в табл. 2.6.1, получаем следующую цепочку соотношений

.

Поскольку , то выполняется соотношение . Это обстоятельство позволяет завершить цепочку тождественных преобразований в виде

Т.к.

,

то, вычислив функцию вероятности от обеих частей последнего ра­венства, получим

. n

4. .

Доказательство

Т. к. согласно аксиоме 1 , то из формулы (2) следует, что . Снова, учитывая аксиому 1, получаем . Окончательно

. n

5. - теорема сложения вероятностей произвольных событий.

Доказательство

Пусть события и не являются несовместными. Для доказательства настоящей теоремы воспользуемся аксиомой 3. Для этого событие представим в виде суммы несовместных событий. Возможны три следующих представления:

1. ;

2. ;

3. .

В справедливости этих соотношений можно убедиться или с помощью диаграмм Венна или аналитически. Действительно, например, для первого из соотношений получаем

.

Поскольку сложение событий обладает свойством коммутативности, то справедливость второго равенства следует из справедливости первого. Для обоснования третьего разложения суммы выполним следующие преобразования

.

Применяя аксиому 3 к трем разложениям суммы на частные случаи, получим

1. ;

2. ;

3. .

Выражая из первых двух уравнений вероятности и и подставляя их в третье, получим

.

Из последнего равенства после тождественных преобразований получаем следствие 5.