Пример. Пусть множество имеет конечное число элементов

Пусть множество имеет конечное число элементов . - совокупность всех подмножеств , где и . Положив

(8)

таким образом, чтобы все вероятности были неотрицательными, и выполнялось соотношение

, (9)

удовлетворим всем аксиомам Колмогорова. При этом вероятность произвольного события принимается равной

. (10)

Аксиоматика Колмогорова допускает разные варианты соотношений (8) при условии (9). Выбор нужного варианта должен учитывать реальный процесс. Например, в случае бросания правильной игральной кости следует считать и

.

Отметим, что аксиоматика Колмогорова применима и к случаю счетного (бесконечного) и несчетного множества элементарных событий. В первом случае сумма (9) превращается в ряд. Обобщая основные положения аксиоматической теории вероятностей, отметим, что основными ее элементами являются:

· - множество элементарных событий;

· - множество случайных событий;

· - функция вероятности, определенная на множестве ( ).

Контрольные вопросы

1. Какое событие в аксиоматической теории вероятности называется элементарным?

2. Какое событие в аксиоматической теории вероятности называется случайным?

3. Может ли вероятность элементарного события быть меньше нуля?

4. Может ли вероятность, вычисленная для исход­ного мно­жества элементарных событий, быть меньше единицы?

5. Как вычисляется вероятность суммы попарно несов­мест­ных событий?

6. Сформулируйте основные положения аксиомати­чес­кой теории вероятности.

§ 5. Статистическое определение вероятности событий

В аксиоматике Колмогорова определение равенств (4.2.8) может представить сложную задачу. В этих случаях для опре­деления величин вероятностей наступления элементар­ных событий проводят многократные испытания. Сами вероятности определяют по формуле

, (1)

где принимают равным числу наступления элементарного события ;

- общее число испытаний. Частотойпоявления события называют отношение . В [6] вероятность, определенная по формуле (1) называется эмпирической.

В значительном количестве случаев вероятность отклонения числа от некоторого значения оказывается стремящейся к нулю при неограниченном росте числа испытаний . В этом состоит закон устойчивости частот. Примеры [1], бросания монеты, результаты которых представлены в таблице.

Таблица

Результаты бросания монеты

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте способ определения статистической вероятности события.

[1] Леонард Эйлер (1707–1783) – математик, механик, физик. С 1727 по 1741 год и с 1766 года жил и работал в России.

Джон Венн (1834-1923) – английский логик.

[2] Морган Огастес (27.06.1806, Мадура, Индия ,- 08.03.1871, Лондон) – шотландский математик и логик. Первый президент Лондонского математического общества.

[3] Другой вариант доказательства.

Так как , то . Тогда n

[4] Термин «элемент» является наиболее распространенным.

[5] Стирлинг Джеймс (1692, Гарден, - 05.12.1770, Эдинбург) – шотландский математик, член Лондонского королевского общества.