Формула Симпсона

Для получения формулы Симпсона применяется квадратичный интерполирующий полином, следовательно, за элементарный интервал интегрирования принимается отрезок [x_i;x_i+2]. Поэтому разобьем интервал интегрирования [a;b] наn отрезков, где n=2m – четное число (рис. 6.4.4-1).

Рис. 6.4.4-1

Для получения интерполирующей функции на интервале [x_i;x_i+2] воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона, используя в качестве узлов интерполяции точки x_i, х_i+1 и x_i+2.

(6.4.4-1)

В пределах отрезка [x_i;x_i+2], на котором подынтегральная функция аппроксимирована многочленом (6.4.4-1), получим приближенную формулу Симпсона:

(6.4.4-2)

Для отрезка [x₀;x₂]

Для отрезка [x₂;x₄]

Тогда для всего интервала интегрирования [a;b] формула Симпсона выглядит следующим образом:

или

(6.4.4-3)

при

Схема алгоритма метода Симпсона приведена на рис. 6.4.4-2.

Рис. 6.4.4-2. Схема алгоритма интегрирования по методу Симпсона с использованием

правила Рунге