КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Свойство непрерывности суммы рядаСтр 1 из 3Следующая ⇒ Теорема. Если функциональный ряд (1.1) состоит из непрерывных на отрезке функций и сходится равномерно, то сумма ряда есть функция непрерывная на отрезке . Доказательство Выберем произвольное число и разделим его на 3. По условию теоремы ряд (1.1) сходится равномерно. Это значит, что по числу можно найти номер члена ряда для которого при для . Оценим разность суммы функционального ряда (1.1) в двух соседних точках и промежутка сходимости функционального ряда . (1) Поскольку величина фиксирована, то является непрерывной функцией, так как она сама является суммой конечного числа непрерывных функций, поэтому по заданному положительному числу можно найти такое число , что как только модуль в правой части выражения (1) станет меньше . Таким образом, по любому указан способ нахождения числа , такого, что как только . Значит, сумма ряда есть функция непрерывная. Что и требовалось доказать. Пример. Ряд из непрерывных функций может образовывать разрывную функцию. Рассмотрим ряд . -я частичная сумма исходного ряда имеет вид . При . При . При . Поэтому при сумма ряда имеет разрыв первого рода. График этой функции представлен на рис. 1. Рис. 1. Иллюстрация к теореме о равномерной сходимости непрерывных функций Причиной разрыва суммы ряда при является отсутствие его равномерной сходимости.
|