Свойство непрерывности суммы ряда

Теорема. Если функциональный ряд (1.1) состоит из непрерывных на отрезке функций и сходится равномерно, то сумма ряда есть функция непрерывная на отрезке .

Доказательство

Выберем произвольное число и разделим его на 3. По условию теоремы ряд (1.1) сходится равномерно. Это значит, что по числу можно найти номер члена ряда для которого при

для . Оценим разность суммы функционального ряда (1.1) в двух соседних точках и промежутка сходимости функционального ряда

. (1)

Поскольку величина фиксирована, то является непрерывной функцией, так как она сама является суммой конечного числа непрерывных функций, поэтому по заданному положительному числу можно найти такое число , что как только модуль в правой части выражения (1) станет меньше

.

Таким образом, по любому указан способ нахождения числа , такого, что как только

.

Значит, сумма ряда есть функция непрерывная. Что и требовалось доказать.

Пример. Ряд из непрерывных функций может образовывать разрывную функцию. Рассмотрим ряд

.

-я частичная сумма исходного ряда имеет вид

.

При

.

При

.

При

.

Поэтому при сумма ряда имеет разрыв первого рода. График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Иллюстрация к теореме о равномерной сходимости непрерывных функций

Причиной разрыва суммы ряда при является отсутствие его равномерной сходимости.