Интегрирование равномерно сходящегося ряда

Теорема. Если функциональный ряд (1.1) состоит из непрерывных на промежутке функций и сходится равномерно на том же промежутке к функции , то ряд, составленный на основе исходного путем интегрирования всех его членов по промежутку , содержащемуся в промежутке , сходится к интегралу по промежутку от суммы исходного ряда.

Доказательство

Так как ряд (1) сходится на промежутке равномерно, то сумма ряда является функцией непрерывной. Поэтому определенные интегралы по конечному промежутку от всех членов ряда и от его суммы существуют как интегралы от непрерывных функций. Оценим разность

, (1)

где - n-я частичная сумма ряда (1.1). По составим положительное число . Так как ряд (1.1) сходится равномерно, то по числу найдем число

.

Воспользуемся последним неравенством для оценки формулы (1). Получим

.

Что и требовалось доказать.