Дифференцирование ряда

Теорема. Пусть функциональный ряд (1.1) сходится к функции и производные его членов являются функциями, непрерывными на промежутке , а ряд из производных сходится равномерно к некоторой функции. Тогда ряд из производных сходится к производной от суммы первоначального ряда.

Доказательство

В соответствии с первой теоремой равномерно сходящийся ряд из производных функционального ряда (1) определяет некоторую непрерывную на функцию. Обозначим ее . В соответствии со второй теоремой этот ряд можно проинтегрировать по любому вложенному в промежутку. Пусть это будет промежуток . В результате получим соотношение

.

Поведем интегрирование членов полученного ряда. Его результатом будет выражение

По условию теоремы каждый из рядов и сходятся, поэтому ряд, в правой части последнего равенства есть разность двух сходящихся рядов и его, поэтому можно записать в виде

.

Левую часть последнего равенства, используя теорему о среднем для интеграла от непрерывной функции , можно представить как

,

где .

Окончательно,

.

В полученном выражении разделим обе части равенства на , перейдем к пределу при и воспользуемся непрерывностью функции получим

.

Полученное соотношение и доказывает настоящую теорему.

Замечание. Изложенные теоремы в учебнике Пискунова Н.С. формулируются в предположении мажорируемости функционального ряда, а не в предположении его равномерной сходимости.

Пример. Безоглядно дифференцировать даже равномерно сходящийся или мажорируемый ряд нельзя. Можно при этом получить расходящийся ряд. Рассмотрим, например, ряд

.

Этот ряд мажорируется рядом

.

Ряд, составленный из производных исходного ряда, имеет вид

.

Его общий член не стремится к нулю, например, при x=0. Значит, он расходится.

Вопросы.

1. Сформулируйте теорему Лейбница.

2. Как оценивается погрешность в вычислении суммы ряда Лейбница, возникающая при замене ее -й частичной суммой?

3. Сформулируйте необходимые и достаточные условия сходимости ряда из комплексных чисел.

4. Какой ряд называется знакочередующимся?

5. Какой ряд называется абсолютно сходящимся?

6. Какой ряд называется условно сходящимся?

7. Сходится ли абсолютно сходящийся ряд?

. Положим, например, . Тогда