К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы. 1. Какое уравнение называется

1. Какое уравнение называется

а) общим уравнением прямой;

б) уравнением прямой в отрезках;

в) уравнением прямой с угловым коэффициентом;

г) каноническим уравнением прямой?

2. Какие уравнения называются параметрическими уравнениями прямой?

3. Каков геометрический смысл коэффициентов каждого из перечисленных в пунктах 1-2 уравнений прямой?

4. Какое уравнение называется

а) векторным уравнением прямой;

б) векторно-параметрическим уравнением прямой?

5. Любую ли прямую можно задать

а) общим уравнением;

б) уравнением в отрезках;

в) уравнением с угловым коэффициентом;

г) каноническим уравнением;

д) параметрическими уравнениями?

6. Сколько существует для заданной прямой

а) общих уравнений;

б) уравнений в отрезках;

в) уравнений с угловым коэффициентом;

г) канонических уравнений;

д) параметрических уравнений?

7. Пусть прямая задана одним из уравнений, перечисленных в пунктах1-2. Как перейти для этой прямой к другим из этих уравнений?

8. Как установить, лежит ли заданная точка М₀(х₀;y₀) на данной прямой (рассмотрите различные способы задания прямой)?

9. Найдите угол между прямыми:

а) A₁x+B₁y+C₁=0 и A₂x+B₂y+C₂=0;

б) Ax+By+C=0 и x=x₀+lt, y=y₀+mt;

в) и .

(Рассмотрите другие сочетания способов задания прямых).

10. Запишите условия

а) параллельности двух прямых;

б) перпендикулярности двух прямых;

в) пересечения двух прямых;

г) совпадения двух прямых.

(Рассмотрите различные сочетания способов задания двух прямых).

11. Пусть задано уравнение прямой и точка М₀(x₀;y₀). Как вычислить расстояние от точки до прямой (рассмотрите всевозможные способы задания прямой)?

12. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты уравнения прямой, которая

а) параллельна оси абсцисс;

б) проходит через начало координат?

13. Пусть прямая задается уравнением вида 5х–7у+с=0.(1) Известно, что точки М₁(x₁;y₁), М₂(x₂;y₂) лежат на этой прямой. Подставив координаты этих точек в уравнение (1), получим с₁= –(5х₁–7у₁) и с₂= –(5х₂–7у₂). Сравните числа с₁ и с₂.

14.Каков геометрический смысл неравенств

а) Ax+By+C >0;

б) Ax+By+C <0;

в) Ax+By+C ³0

г) Ax+By+C £0?

1. Известны вершины треугольника АВC: А(2;4), В(1;3), С(–1;5). Запишите уравнения высоты и биссектрисы, проведенных из вершины В.

,

О т в е т : 1) 3х–у=0 – высота ВD, 2) х=1, у=3+t – биссектриса ВК.

2. Дана прямая х=2–3t, у=1+5t. Запишите какое-либо общее уравнение этой прямой.

Р е ш е н и е. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид Ах+Ву+С =0, причем известно, что вектор будет ортогонален этой прямой. Из заданных параметрических уравнений прямой выписываем координаты направляющего вектора этой прямой (это коэффициенты при t): . Но тогда вектор . Поэтому общее уравнение имеет вид: 5х+3у+С=0. Для нахождения возьмем на данной прямой, например, точку М₀(2;1) (см. заданные параметрические уравнения): 5·2+3·1+С+0 . Следовательно, общее уравнение исходной прямой будет 5х+3у-13=0.

О т в е т: 5х+3у-13=0.

3.Вычислите расстояние между параллельными прямыми: х=2t, у=1–3t и х=1–2t, у=4+3t.

Р е ш е н и е: Если прямая задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то расстояние от точки М₀(x₀;y₀) до этой прямой вычисляется по известной формуле: (1).

Сведем поставленную задачу к этому случаю. Для любой из этих прямых, например, первой, запишем общее уравнение (см. пример 2): 3х+2у–2=0. Возьмем на другой прямой какую–либо точку, пусть это будет точка М₀(1;4), и далее воспользуемся формулой (1):

(лин.ед.).

О т в е т: лин. ед.

4. Найдите угол между прямыми и .

Р е ш е н и е: Выпишем для этих прямых, например, направляющие векторы. Так как первая прямая задана уравнением в отрезка, то вектор или ему коллинеарный вектор являются для этой прямой нормальными. Но тогда вектор будет для этой же прямой направляющим (ведь ). Вторая прямая задана каноническим уравнением, следовательно, вектор, координатами которого являются знаменатели дробей рассматриваемого уравнения, т. е. , будет для второй прямой направляющим. Угол между прямыми–это меньший из углов, образованных при пересечении соответствующих прямых. Поэтому угол между исходными прямыми–это угол между векторами , или смежный с ним. Соs =

= <0, т. е. Угол –тупой, поэтому

о т в е т: arc Cos .

5. Установите, лежит ли точка М₀(1;2) между параллельными прямыми х–3у+7=0 и х-3у+2=0.

Р е ш е н и е: Две различные параллельные прямые разбивают плоскость, в которой они расположены, на три попарно пересекающиеся (если выбросить данные прямые) области. Обозначим их I, II, III (рис.2).

Вначале выясним, лежат ли точка М₀ и первая прямая в одной полуплоскости, определяемой второй прямой. Для этого надо, чтобы координаты точки М₀ и координаты какой либо точки первой прямой (возьмем, например, точку М₁(–7;0)) удовлетворяли одновременно одному из неравенств: х–3у+2>0 или х–2у+2<0. Вычисления показывают, что это выполняется: яПоэтому точка М₀ может попадать или в область I, или в область II. Что бы это установить, выясним, как расположены точки М₀ и вторая прямая относительно первой прямой. На второй прямой берем, например, точку М₂(–2;0) и выясним, принадлежат ли точки М₀ и М₂ одной плоскости, определяемой первой прямой: , . Значит, принадлежат. Но тогда точка М₀ попадает между параллельными прямыми.

Ответ: лежит.

“ПРЯМАЯ
по теме НА ПЛОСКОСТИ”

1. Дана прямая .

1) Укажите какой-либо нормальный вектор заданной прямой.

2) Укажите какой-либо направляющий вектор этой прямой.

3) Запишите какое-либо каноническое уравнение этой прямой.

4) Запишите какие-либо параметрические уравнения этой прямой.

5) Запишите уравнение в отрезках этой прямой.

6) Запишите для этой прямой уравнение с угловым коэффициентом.

7)Вычислите расстояние от точки до заданной прямой.

8)Лежат ли точки , в разных полуплоскостях,определяемых данной прямой?

2. Запишите множество, задающее все прямые, ортогональные вектору .
3.Вычислите значение параметра с, при котором прямая проходит через точку .

4.Найдите значение параметра А, при котором прямая параллельна прямой .

5.Для прямой укажите величины отрезков, отсекаемых на координатных осях.

6.Дана прямая .

1)Найдите угол, под которым эта прямая пересекает ось 0х.

2)Запишите множество, задающее все прямые, параллельные данной прямой.

7.Для прямой запишите какой-либо направляющий вектор.

прямой.

8.Найдите значение параметра , при котором прямая перпендикулярна прямой 5x-3y-21=0.

9.Дана прямая . Запишите

1)какое-либо ее общее уравнение;

2)множество, задающее все прямые, параллельные данной прямой.

3)Для заданной прямой установите принадлежит ли ей точка .

10.Найдите значение параметра , при котором прямая параллельна прямой y= - x+5.