КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы.1. Какое уравнение называется а) общим уравнением плоскости; б) уравнением плоскости в отрезках? 2. Какие уравнения называются параметрическими уравнениями плоскости? 3. Каков геометрический смысл коэффициентов каждого из перечисленных в пунктах 1-2 уравнений прямой? 4. Какое уравнение называется а) векторным уравнением плоскости; б) векторно-параметрическим уравнением плоскости? 5. Любую ли плоскость можно задать а) общим уравнением; б) уравнением в отрезках; в) параметрическими уравнениями?; 6. Сколько существует для заданной плоскости а) общих уравнений; б) уравнений в отрезках; в) параметрических уравнений? 7. Пусть плоскость задана одним из уравнений, перечисленных в пунктах 1-2. Как перейти для этой плоскости к другим из этих уравнений? 8. Как установить, лежит ли заданная точка М0(х0;y0;z0) на заданной плоскости (рассмотрите различные способы задания плоскости)? 9. Найдите угол между плоскостями: а) A1x+B1y+C1Z+D1=0 и A2x+B2y+C2 Z+D2=0; б) Ax+By+C Z+D=0 и x=x0+lu+ , y=y0+mu+ ; z=z0+nu+ в) и x=x0+lu+ , y=y0+mu+ , z=z0+nu+ . 10. Запишите условия а) совпадения двух плоскостей; б) параллельности двух плоскостей; в) пересечения двух плоскостей; г) перпендикулярности двух плоскостей. (Рассмотрите различные сочетания способов задания двух плоскостей). 11. Как вычислить расстояние от точки М0(х0;y0;z0) до заданной плоскости (рассмотрите различные способы задания плоскости с помощью уравнений из пунктов 1–2)? 12. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты уравнения плоскости, которая а) параллельна координатной плоскости 0xz б) параллельна оси ординат; в) проходит через начало координат? 13. Пусть плоскость задается уравнением Ax+By+Cz+D=0. Запишите условие принадлежности двух точек М1(х1;y1;z1), М2(х2;y2;z2) одному полупространству, определяемому этой плоскостью.
1. Запишите общее уравнение плоскости, содержащей точки М1(1;2;3), М2(0;4;1), М3(3;1;1) Р е ш е н и е: Векторы , являются направляющими для данной плоскости. Значит, точка М(х;у;z) принадлежит искомой плоскости тогда и только тогда, когда векторы , , компланарны, что эквивалентно тому, что их смешанное произведение равно нулю, т. е. . Отсюда получаем или (рис.3). О т в е т: 2. Запишите параметрические уравнения плоскости, содержащей точки . Р е ш е н и е: При таком способе задания плоскости сразу записывается ответ в виде параметрических уравнений: берем в качестве начальной точки этой плоскости, например, точку , в качестве направляющих векторов, например, векторы и Тогда получим (рис.3). О т в е т: . 3. Запишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М0(1;–2;3) и отсекает на координатных осях отрезки одинаковой величины. Р е ш е н и е: Уравнение искомой плоскости удобно здесь находить в виде уравнения в отрезках: . Исходя из геометрического смысла коэффициентов этого уравнения и условия задачи, имеем, что a=b=c. Учитывая, что точка М0 лежит на этой плоскости, находим а: . Таким образом, получим О т в е т: . 4. Запишите общее уравнение плоскости , , . Р е ш е н и е: : Из геометрического смысла коэффициентов параметри ческих уравнений плоскости получаем, что точка М0(1;2;1) принадлежит этой плоскости, а векторы , параллельны ей. Но тогда вектор будет ортогонален этой плоскости. Поэтому общее уравнение этой плоскости можно задать в виде: . Подставляя в это уравнение координаты точки , вычислим : . Отсюда . Следовательно, О т в е т: (рис.4).
5.Выясните, которая из координатных плоскостей принадлежит пучку, определяемому плоскостями и . Р е ш е н и е: Как известно, уравнение любой плоскости этого пучка может быть записано в виде: или (**), где и одновременно не равны нулю. Так как любая из координатных плоскостей проходит через начало координат, то должно быть, что . Отсюда , но тогда из уравнения (**) получаем или , так как . О т в е т: .
6. Напишите уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы между плоскостями и . Р е ш е н и е: Искомые плоскости – множество точек, равноудаленных от заданных плоскостей. Пусть - точка этих искомых плоскостей . Тогда , что эквивалентно . Раскрывая модуль, получим два линейных уравнения: 1) или ; 2) или . Эти уравнения и задают искомые плоскости. О т в е т: и .
по теме “ПЛОСКОСТЬ”
1. Дана плоскость . 1) Укажите какой-либо нормальный вектор этой плоскости. 2) Укажите какой-либо направляющий вектор этой плоскости. 3) Принадлежит ли точка заданной плоскости? 4) Найдите величины отрезков, отсекаемых этой плоскостью на координатных осях. 5) Выпишите какие-либо параметрические уравнения заданной плоскости. 6) Вычислите расстояние от точки М(2;0;1) до заданной плоскости. 7) Лежат ли точки и в одном полупространстве, определяемом заданной плоскостью? 8) Вычислите косинус угла между заданной плоскостью и плоскостью x+3y+2z-7=0. 2. Вычислите значение параметра D, при котором плоскость x-3y+4z+D=0 проходит через точку М(4;1;0). 3. Вычислите значение параметров А и С, при которых плоскости x+5y-7z+1=0 и Аx-10y+Cz-7=0 параллельны 4. Запишите множество, задающее все плоскости, параллельные вектору . 5. Дана плоскость x=2-u+3v, y=u+v, z=3-u. 1) Укажите два какие-либо неколлинеарные направляющие векторы этой плоскости. 2) Укажите какой-либо нормальный вектор этой плоскости. 3) Установите, лежит ли на этой плоскости точка М(4;2;2). 4) Запишите какое-либо общее уравнение этой плоскости. 5) Запишите какие-либо параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку параллельно заданной плоскости. 6) Запишите для заданной плоскости уравнение в отрезках. 7) Вычислите расстояние от точки до заданной плоскости. 8) Вычислите косинус угла между заданной плоскостью и плоскостью 4x+y+3z-1=0. 6. Запишите какие-либо параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .
ПРЯМАЯ
|