Записывая уравнения (6.4) в виде пропорций получаем канонические уравнения прямой

(6.5)

Доказательство. Пусть точка лежит на прямой, которая параллельна вектору .Тогдавекторы и коллинеарные и следовательно

Отсюда следует формула (6.4).

Пример 6.5. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Решение. Подставляем данные примера в формулу (6.4), дающую параметрические уравнения прямой и записываем ответ: . Меняя ,получаем различные точки на прямой. Взяв =3, получим точку , лежащую на прямой правее точки . Взяв =-3, получим точку , лежащую на прямой левее точки . Взяв =0, получим точку начальную точку , лежащую на прямой.

Пример 6.6. Написать уравнение прямой, проходящей через заданные точки А и В .

Решение. Согласно условиям теоремы 6.2 нам не хватает вектора параллельного прямой. Но из условия задачи его легко получить. Можно взять вектор . Тогда из формулы (6.4)

получаем параметрические уравнения прямой . В уравнениях

за начальную точку взята точка А .

Приведем простые правила

А. Параллельности двух прямых , имеющих направляющие векторы .

В. Перпендикулярности двух прямых , имеющих нормальные векторы

.

С. Вычисления линейного угла между прямыми , имеющих нормальные векторы

.

Правило А. Прямые параллельны, если и только если векторы коллинеарные ( ). Напомним, что У коллинеарных векторов координаты пропорциональны.

Правило В. Прямые перпендикулярны , если и только если векторы перпендикулярные ( ).

Правило С. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ РАВЕН УГЛУ МЕЖДУ ИХ НАПРАВЛЯЮЩИМИ ВЕКТОРАМИ .

(6.6)

Прямую также можно задавать как пересечение двух плоскостей

. В этом случае, чтобы найти координаты точек прямой нужно решать систему уравнений

(6.7)

Пример 6.7. Написать параметрические уравнения прямой, являющейся пересечением двух плоскостей

Решение. Приводим систему к ступенчатому виду

и полагаем произвольному параметру. Тогда . Из первого уравнения

Ответ: параметрические уравнения пересечения плоскостей имеют вид

В приложениях часто встречаются задачи на взаимное расположение прямой и плоскости.

Рассмотрим некоторые из них.