Ознака перпендикулярності площин

Перпендикулярність площин

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих двох площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих (див. рисунок).

Будь-яка площина, перпендикулярна до прямої перетину перпендикулярних площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.

Ознака перпендикулярності площин

Теорема 1. Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні (див. рисунок).

Теорема 2. Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна і до другої площини (див. рисунок).

Приклад застосування теореми 2
Нехай є дві перпендикулярні площини і , які перетинаються по прямій a (див. рисунок). Знайти відстань від точки A, яка лежить в площині і не лежить в площині , до площини .

У площині будуємо перпендикуляр до a через точку A. Нехай він перетинає a в точці B. AB — шукана відстань.
Зверніть увагу на таке.
1. Через точку поза площиною можна провести безліч площин, перпендикулярних до цієї площини (див. рисунок). (Але всі вони пройдуть через перпендикулярну до цієї площини пряму, яка проходить через дану точку.)

2. Якщо площина перпендикулярна до даної площини, то це не означає, що вона перпендикулярна і до довільної прямої, паралельної цій площині.
Наприклад, на рисунку нижче , і перетинаються по прямій b, , причому a нележить в жодній із площин і . Отже, пряма a водночас паралельна двом перпендикулярним площинам.

3. Якщо площина й пряма, що не належить цій площині, перпендикулярні до однієї і ­тієї самої площини, то ці площина й пряма паралельні.
На рисунку: ; ; .

4. Через довільну пряму, яка не перпендикулярна до даної площини, можна провести єдину площину, перпендикулярну до ­даної.
5. Якщо дві площини перпендикулярні, то пряма, яка є перпендикулярною до однієї із цих площин і проходить через їх спільну точку, обов’язково буде лежати в другій площині (див. рисунок).