Теорема существования и единственности - ? .

Дифференциальные уравнения.

F(x,y); x – неизвестная переменная, y – неизвестная функция.

Функция зависит только от одной переменной – такие уравнения называют обыкновенные ДУ. Порядок ДУ определяется порядком старшей степени производной в этом уравнении. Решить ДУ означает найти неизвестную функцию, удовлетворяющую данному уравнению. Количество произвольных постоянных, получаемых в решении, зависит от порядка ДУ. Геометрическим решением является интегральная кривая или, точнее, семейство интегральных кривых. Решение, соответствующее определенному значению C – частное решение. Частные решения с одной стороны соответствуют своей заданной константе C, а с другой стороны их можно получить, задав начальные условия (точку на координатной плоскости). Поиск частного решения ДУ – задача Коши. Количество начальных условий для задачи Коши также определяется порядком ДУ.

Теорема существования и единственности - ? .

Простейшие ДУ 1-ого порядка:

1. Уравнения с разделяющимися переменными:

а)

б)

в)

г) уравнения, приводящиеся к уравнению с разделяющимися переменными;

2. Однородные ДУ: функция f(x,y) называется однородной функцией k-ого порядка, если выполняется следующее соотношение . В однородном ДУ f(x,y) является однородной нулевого порядка.. Для однородного уравнения допустима замена переменных. Общий интеграл – y не разрешена относительно x;

3. Линейные ДУ: .

а) метод Бернулли .

4. Уравнения в полных дифференциалах:Уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , т.е. .

Теорема.

Если функции непрерывны в некоторой односвязной области , то условие является необходимым и достаточным для того, чтобы выражение

было полным дифференциалом функции .

Интегрирующий множитель - множитель, после умножения на который левая часть дифференциального уравнения P(x, y)dx+ Q(x, y)dy= 0 обращается в полный дифференциал некоторой функции U(x, y). Таким образом, если m (х, у) — И. м., то m(x, y)[P(x, y)dx+ Q(x, y)dy] = dU(x, y)..

Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка:

1. - n-кратное интегрирование;

2. - ДУ, которое не содержит явно неизвестной функции и часть ее первых производных. Использовать замену =z(x);

3. - явно не содержит переменной x. Использовать замену y’=z(y).

Уравнение вида y'+P(x)y=Q(x), левая часть которого есть линейная функция относительно y и y', а функции P(x) и Q(x) непрерывны в некоторой области, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Уравнение вида y'+P(x)y=0 называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство.

1. Если y1(x), y2(x) являются решениями уравнения (частными решениями), то их линейная комбинация также будет решением этого ДУ. Два решения называются независимыми, если (y1/y2)!=const;
2. Определитель, составленный на линейно независимых решениях и их производных, отличен от нуля (определитель Вронского). Если решения линейно зависимы, то определитель равен нулю;
3. Общее решение ОДУ 2-ого порядка имеет вид .