МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ 2 страница

Математическая модель может быть построена тремя способами:

1) Прямым наблюдением явления, его прямым изучением и осмыслением.
Модели, полученные таким путем, называют феноменологическими.

Например, все модели Ньютона являются феноменологическими.

2) Методом дедукции, когда рассматривается частный случай более общей модели (переход от общего к частному). Такие модели называются асимптотическими.

3) Методом индукции, когда новая модель создается как обобщение «элементарных», частных моделей. Такие модели называются моделями ансамблей (от частного к общему). Модели ансамблей позволяют прогнозировать (вычислять) поведение некоторой системы объектов по информации о поведении элементов и сил их взаимодействия. Например, модели планетарных систем являются моделями ансамблей.

В системах, организациях неживой материи не возникает новых свойств, не выводимых из свойств составляющих систему элементов. В системах биологических в совокупности организмов возникают свойства, которые не выводимы из свойств отдельных организмов. Во всяком случае, таково сегодня состояние науки. Например, стадо животных само проявляет черты организма, который имеет свои законы, определяемые главной целью – сохранением вида, внутренней среды (гомеостаза), и владеет способами его достижения.

Различают модели детерминированные и статистические. Детерминированные (теоретические) модели должны отражать основные закономерности исследуемых объектов и процессов. Построение детерминированных моделей сопряжено с проведением обширных и трудоемких исследований, поскольку при этом необходимо выяснить природу явлений, их причинно-следственные связи и описать их математически. Как правило, такие модели представляются в виде сложных систем дифференциальных уравнений. Они позволяют достаточно точно описать процессы и допускают экстраполяцию в точках факторного пространства, в которых невозможно непосредственное наблюдение этих процессов.

Статистические модели получаются в результате статистической обработки экспериментальных данных, собранных на исследуемом объекте или процессе. Они имеют относительно простую структуру (в большинстве случаев представляются в виде полиномов). Область их применения ограничивается ближайшими окрестностями рабочих точек, в которых проводились эксперименты.

Во многих случаях построение таких моделей можно выполнить при сравнительно небольших затратах времени и средств.

Для построения математических моделей сам объект и его свойства обычно упрощают, обобщают. Модель должна отображать существенные черты явления или процесса; излишняя детализация делает ее громоздкой. Модель должна быть оптимальной по сложности, желательно наглядной, но главное – адекватной, т.е. описывать закономерности изучаемого процесса с требуемой точностью.

Рис.6. Схема формирования шероховатости (R_z)

при цилиндрическом фрезеровании

Пример. При цилиндрическом фрезеровании плоскостей траектория зуба фрезы представляет собой трохоиду, точка пересечения которой определяет высоту неровностей R_z. Получаемое уравнение трохоиды трансцендентное и не имеет точного решения относительно R_z. Так как подача на зуб фрезы S_z является величиной 2-3 порядка малости по сравнению с радиусом фрезы и скоростью резания, то трохоида на участке формирования поверхностного слоя заменяется окружностью радиуса R (рис.6). Наиболее точная формула для расчета R_z имеет вид:

,

где z - число зубьев фрезы; (+) – для встречного фрезерования; (-) – для попутного фрезерования.

При замене трохоиды окружностью радиуса R:

(формула Чебышева).

Для цилиндрической или дисковой фрезы диаметром 40 мм и числом зубьев z = 5 при подаче S_z = 0,1 мм/зуб расчет по более точной формуле для попутного фрезерования даeт R_z = 0,063 мкм, для встречного фрезерования R_z = 0,062 мкм, а по приближенной формуле R_z = 0,0625 мкм, т.е. погрешность 0,8% по отношению к более точной формуле.

10.3. Другие методы моделирования

Цифровое моделирование связано с исследованием дискретных явлений и удобно при изучении таких систем, для имитации которых требуется вычисление большого числа функциональных зависимостей.

Непрерывные явления также могут изучаться цифровым моделированием посредством введения дискретности непрерывных функций. Класс задач, допускающих цифровое моделирование, очень широк – от технологии производства машин до задач административного управления. В основе моделирования этих задач лежит математическая аналогия.

Мысленное (гипотетическое) моделирование применяют тогда, когда знаний об изучаемом объекте или процессе недостаточно для построения надежных функциональных моделей. В этом случае моделирование осуществляется на основе принятых обоснованных гипотез.

Символьное моделирование – это описание свойств объектов с помощью знаков (символов) или языковое описание. При языковом моделировании (описании) используют специальные языки (алгоритмические, машинные, языки программирования). Символьное моделирование ведется также с использованием семантических (от греч. semantikos – обозначающий) и вербальных (от лат. verbalis – словесный) моделей.

Для проведения экспериментов и исследования реальных объектов и процессов применяют реальное моделирование. Его результаты позволяют подтвердить адекватность или опровергнуть использованные концептуальные или проектные модели.

10.4. Вычислительный эксперимент

Вычислительный эксперимент – это методология и технология исследований, основанная на применении прикладной математики и ЭВМ как технической базы для использования математических моделей.

Технологический цикл вычислительного эксперимента принято разделять на следующие этапы,

1) Для исследуемого объекта (процесса) строиться модель (обычно сначала физическая), которая фиксирует главные и второстепенные факторы. Формулируются допущения и условия применимости модели, границы, в которых будут справедливы полученные результаты. Модель записывается в математических терминах (как правило, в виде дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений). Создание модели проводится соответствующими специалистами совместно с математиками.

2) Разрабатывается метод расчета, сформулированной математической задачи. Решение задачи представляется в виде совокупности алгебраических формул, по которым должны вестись вычисления, и условий, показывающих последовательность применения этих формул. Набор таких формул, условий и последовательности их применения носит название вычислительного алгоритма.

3) Разрабатывается алгоритм и программа решения задачи на ЭВМ.

4) Проводятся расчеты на ЭВМ. Результаты получаются в виде некоторой цифровой информации, которую необходимо расшифровать. Точность информации определяется достоверностью модели, правильностью алгоритмов и программ.

5) Обрабатываются результаты расчетов, делается их анализ и выводы. Уточняется математическая модель, разрабатываются упрощенные инженерные способы решения и зависимости, дающие возможность получить необходимую информацию более простым способом. Вычислительный эксперимент имеет многовариантный характер, т.к. часто входные параметры многочисленны. Каждый расчет проводится при фиксированном значении всех параметров (по принципу однофакторного эксперимента).

В случае решения задачи нахождения наилучшего варианта приходится выполнять большое число однотипных расчетов. Для этого эффективны численные методы. Вычислительный эксперимент приобретает исключительное значение в тех случаях, когда натурные эксперименты и построение физической модели оказываются невозможными.

10.5. Основные положения теории подобия

Использование метода моделирования потребовало изучения и развития таких методов исследования, как:

1) метода подобия и размерностей (в первую очередь при построении физических моделей);

2) системного метода (при построении моделей ансамблей, позволяющих выяснять поведение сложных систем, содержащих объекты разной природы);

3) метода планирования экспериментов.

В теории подобия и размерностей устанавливаются условия, которые должны соблюдаться в опытах с моделями, и выделяются характерные и удобные параметры, определяющие основные эффекты и режимы процессов.

К основным отличительным особенностям метода подобия относятся:

- установление взаимосвязи между безразмерными комплексами (критериями подобия);

- разработка методов научного обобщения данных единичного опыта.

Теория подобия основана на обработке результатов экспериментов с помощью безразмерных комплексов (критериев подобия), включающих в себя все основные параметры изучаемого процесса.

Критерии подобия – это безразмерные числа, составленные из размерных физических параметров, определяющих рассматриваемые физические явления. Равенство всех однотипных критериев подобия для двух физических явлений или систем – необходимое и достаточное условие их физического подобия. Другими словами, критерии подобия количественно оценивают те условия, при которых модель может считаться закономерно отражающей оригинал. Критерии подобия обычно находят путем анализа общих теоретических уравнений процесса, записанных в дифференциальной или явной формах.

Пример. Искомое гидравлическое сопротивление в трубе зависит от одного обобщенного показателя – критерия (числа) Рейнольдса

,

где – кинематический коэффициент вязкости, м²/с;

μ₀ – динамический коэффициент вязкости (вязкость), кг/м×с; ρ – плотность жидкости, кг/м³; ω – скорость жидкости, м/с; d₀ - диаметр трубы, м. Таким образом, один критерий заменяет 4 переменных фактора.

Определяющие критерии подобия – это критерии, включающие в себя все величины, известные до опыта. Неопределяющие критерии подобия – это критерии, включающие одну или несколько величин, не известных до опыта и изменяющихся в зависимости от выбранных значений определяющих критериев.

Подобие явлений, происходящих в оригинале и в моделях, может быть 4-х видов.

Абсолютное подобие – абстрактное понятие, реализуемое только
умозрительно.

Полное подобие – подобие тех элементов объекта или явления, которые достаточно полно для целей данного исследования определяют их физическое содержание.

Неполное (приближенное) подобие связано с изучением только части явления или объекта, например, только во времени или только в пространстве.

Приближенное подобие реализуется при некоторых упрощающих допущениях, приводящих к искажениям, заранее оцениваемым количественно.

Критерии подобия, представляющие собой отношение двух однородных величин, называют параметрическими.

Теоремы подобия.

1) Два явления подобны, если они описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и имеют подобные условия однозначности (теорема Кирпичева-Гухмана).

2) Подобные явления характеризуются одинаковыми значениями всех критериев подобия (определяющих и неопределяющих) в сходственных точках подобных систем.

3) Для подобия явлений необходимо и достаточно, чтобы их условия однозначности были подобны и критерии, составленные из величин, входящих в состав условий однозначности, одинаковы.

Под условием однозначности принято понимать дополнительные условия, которые в совокупности с дифференциальным уравнением или его решением однозначно определяют единичное решение.

Два явления подобны, если по заданным характеристикам одного можно получить характеристики другого простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной единицы измерения к другой. Необходимым и достаточным условием подобия двух явлений является постоянство численных значений безразмерных коэффициентов, образующих базу.

Метод подобия находит применение в технологии машиностроения и в науке о резании материалов для решения 2-х основных задач.

1) Установление общих теоретических зависимостей для определения основных параметров процесса резания с получением выражений в критериальной форме и их использование при разработке расчетного метода определения обрабатываемости.

2) Экспериментальное исследование процесса резания с обработкой результатов опытов методами теории подобия, получением обобщенных теоретико-экспериментальных зависимостей между параметрами, объединяемыми в критерии подобия, и для разработки на их основе экспериментальных методов определения рациональных режимов обработки материалов резанием.

11. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ.

11.1. Основные положения теории случайных погрешностей.

При проведении экспериментов получают только некоторое приближенное значение измеряемых величин и выходных величин. Степень этого приближения определяется систематическими и случайными погрешностями, возникающими в ходе эксперимента, в том числе систематическими и случайными погрешностями измерений.

Большинство систематических погрешностей измерений можно свести к следующим четырем группам.

1) Инструментальные погрешности (неисправность средств измерений, износ, неточность тарировки, неправильная установка, неправильное использование и т.п.).

2) Погрешности от воздействия окружающей среды (колебания температуры, давления, вибраций, магнитных, электрических полей и т.п.).

3) Субъективные погрешности (от физиологических и антропологических свойств человека).

4) Погрешности метода измерений (от упрощения схемы измерения и функциональных зависимостей).

Будем считать, что систематические погрешности обнаружены и устранены, остались только случайные погрешности.

Как известно, для анализа случайных величин используются основные положения теории вероятности и математической статистики. Рассмотрим эти положения применительно к анализу точности измерения, имея в виду, что в равной степени они относятся также и к точности изготовления деталей.

Под точностью измерения понимается степень приближения измеренного значения величины к ее действительному значению.

Погрешность измерения – это разность между измеренным и действительным значением величины.

Различают абсолютную и относительную погрешность.

Абсолютная погрешность ,

где X_i - значение величины, получаемое измерением,

X_D – действительное значение измеряемой величины.

Так как всякое измерение имеет погрешность, то действительное значение измеряемой величины получить нельзя. За действительное значение принимают среднеарифметическую величину совокупности измерений , которую называют средним данного ряда чисел (выборки) N.

.

Вычислить действительное значение измеренной величины и оценить
возможные ошибки с определенной гарантией можно, используя теорию случайных ошибок.

Основу теории случайных ошибок составляют следующие
предположения.

1) При большом числе измерений случайные ошибки (погрешности) одинаковой величины, но разного знака, встречаются одинаково часто.

2) Бóльшие погрешности встречаются реже, чем меньшие.

3) При бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению всех результатов измерений .

4) Появление того или иного результата измерения как случайной величины (события) определяется нормальным законом распределения.

Различают генеральную и выборочную совокупность. Под генеральной совокупностью понимается все множество возможных значений измерений X_i или возможных значений погрешностей ΔX_i. У выборочной совокупности число измерений ограничено и в каждом конкретном случае строго определено. Обычно считают, если N > 30, то среднее значение данной совокупности измерений достаточно близко к его истинному значению X_D. Теория случайных ошибок позволяет решать две задачи.

1) Оценить точность и надежность измерения при данном их количестве.

2) Определить минимальное количество измерений, гарантирующее требуемую точность и надежность измерений.

Среднеарифметическая величина анализируемой выборки измерений является важной, но недостаточной характеристикой ряда чисел. Она не дает представления о степени разброса результатов измерений около среднего значения. Среднее значение абсолютных отклонений (с учетом знака) не может служить показателем разброса, т.к. их сумма по всему ряду измерений равна нулю. Чтобы исключить влияние знака при абсолютных отклонениях принято усреднять не сами отклонения, а их квадраты, а для приведения размерности такой погрешности к размерности измеряемой величины, извлекают корень квадратный из этого среднего

.

Показатель σ называют стандартным отклонением (среднеквадратическим) в данной выборке значении измеряемой величины. Его можно рассматривать как среднюю погрешность результатов N измерений. Если результаты измерений записать в форме

,

где t - некоторый постоянный (гарантийный) коэффициент,

то величину « » можно рассматривать как абсолютную погрешность.

Для оценки относительной погрешности используют коэффициент вариации

.

Он характеризует степень изменчивости (разброса) результатов измерения. Чем больше K_B, тем больше результаты измерения отклоняются от среднего значения.

Для малых выборок (малого количества измерений) число N более корректно заменить на число степеней свободы (N–1). Тогда

.

В некоторых случаях погрешности измерения принято указывать не через σ, а через среднее стандартное отклонение или стандартную ошибку , которая определяется по формуле

или .

Из этой формулы следует, что среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения σ каждой из величин. С увеличением числа измерений точность предсказания среднего повышается в степени 0,5. Таким образом, для увеличения, например, точности в 2 раза число измерений нужно увеличить в 4 раза.

При нормальном законе распределения общей оценочной характеристикой ряда измерений является дисперсия D, которая является показателем однородности результатов измерения. Чем выше D, тем больше разброс результатов измерений. Дисперсия является квадратом стандартного отклонения и вычисляется по формулам

– для N ≥ 30;

– для N < 30;

11.2. Представление результатов параллельных измерений.

Результаты параллельных измерений удобно представлять в виде ряда распределения, для чего их разбивают на равномерные интервалы, которые называются «бинами», и располагать в порядке возрастания или убывания измеряемой величины с указанием соответствующих частот или частостей.

Частота (m_i) – это количество результатов измерений (эксперимента), попавшие в данный интервал (бин).

Частость (p_i) – отношение частоты к объему всей выборки

.

Число интервалов (бинов) существенно влияет на характер графика распределения. Поэтому очень важно правильно выбрать число бинов. График будет лучше отражать распределение погрешностей (более информативным), если в каждый бин попадет несколько результатов измерения. С увеличением объема выборки (N) необходимо увеличивать количество бинов, т.е. делать интервалы разбивки более узкими. Ширина интервала

,

где X_max, X_min - максимальное и минимальное значение измеряемой величины в выборке, ω – поле рассеяния, n – число бинов.

Ширина интервала выбирается постоянной. Число бинов, рекомендуемое для данного числа измерений, можно определить по табл.2, составленной на основании накопленного опыта.

Таблица 2

Рекомендации по выбору числа бинов

После определения количества бинов рассматривают каждое число выборки, адресуют его в соответствующий бин и суммируют количество измерений в каждом бине.

Далее подсчитывают частоты или частость для каждого интервала и наносят эти данные на график в виде гистограммы (изображение прямоугольниками) или полигоны (ломаной линии).

Пример: Результаты измерения диаметра 100 деталей (N = 100) микрометром (точность 0,01 мм) приведены в табл.3.

Выбираем число бинов n = 10, Х_max = 20,35 мм, X_min = 20,00 мм.

; ;

.

Таблица 3

Распределяем результаты измерений по 10 бинам.

Таблица 4

Интервал отклонений от размера 20 мм в мм	Частота mi	Частость pi
0,00...0,035		0,02
0,035...0,07		0,05
0,07...0,105		0,07
0,105...0,14		0,14
0,14. ..0,175		0,15
0,175...0,21		0,18
0,21... 0,245		0,16
0,245... 0,28		0,14
0,28...0,315		0,07
0,315...0,35		0,07

Гистограмма и полигона, распределения отклонений диаметра для 10 и 20 бинов приведены на рис.7.

С увеличением числа измерений N до бесконечности полигона превращается в плавную кривую или функцию распределения, которая описывает предельное распределение случайной величины. Наиболее часто встречаются следующие типы функций распределения случайной величины: нормальное, островершинное, двухвершинное, трапецеидальное (типа «шапо»), равномерное (рис.8).

Рис.7. Гистограмма и полигона распределения отклонений диаметра 20 мм
при числе бинов: а) n = 10; б) n = 20