Б — кривые равных напряжений — изобары (надписи на кривых указывают напряжения в долях от давления на подошву полосы);

В — кривые распределения напряжений по глубине (надписи в нижней части графика указывают расстояние вертикалей, к которым относятся кривые, от оси, проходящей через середину полосы)

Определим напряжение в полупространстве, на часть поверхности которого Р, ограниченную некоторой замкнутой кривой, действует нагрузка, интенсивность которой изменяется по закону , где — интенсивность нагрузки в точке с координатами х и у. Если выделить внутри нагруженной площадки элемент (рис. 7.4), то давление на площадку dF будет равно f(х, у)dF. Вер­тикальное нормальное напряжение в точке полупространства А от элементарной силы, действующей на площадку dF:

, (7.2)

где R — расстояние от точки А до элементарной площадки dF.

Таблица 7.1. Значения К

Полное значение напряжений в точке А получается в результате интегри­рования выражения для ds_z по всей на­груженной площад­ке F:

(7.3)

рис 7.4. Определение напряжений от нагрузки, приложенной к площадке произвольной формы.

Аналогично мо­гут быть найдены и другие составляю­щие напряжений.

Различают два случая расчета на­пряжений: 1) от на­грузок, приложен­ных к бесконечным полосам постоянной ширины и одинаково распределенных по длине и ширине полосы в любом сечении (длинные ленточные фундаменты, дорожные на­сыпи и плотины постоянного сечения), — плоская задача; 2) от на­грузок, распределенных по ограниченной площади (фундаменты зданий, башмаки колонн, опоры мостов, колеса и гусеницы транс­портных средств), — пространственная задача. В условиях плоской задачи для оценки напряженного состояния грунта достаточно ис­следовать распределение напряжений в любом сечении массива, перпендикулярном оси загруженной полосы. Исходными для реше­ния плоской задачи в различных случаях являются выражения для напряжений от элементарных сосредоточенных сил, распределенных но бесконечной линии — линейной нагрузки (задача Фламана)

При интенсивности нагрузки q (в кг/см) на единицу длины верти­кальное нормальное напряжение в точке А (х, у = 0, г) от силы qdy, приложенной к поверхности полупространства в точке М (х = 0; y, Z=0)

(7.4)

Полное значение вертикального нормального напряжения от всех сил, приложенных к загруженной линии:

(7.5)

Рис 7.5. Распределение напряжений от бесконечной линейной нагрузки

Другие наиболее часто используемые составляющие напряже­ния:

; (7.6)

Распределение напряжений от нагрузки, приложенной к беско­нечной полосе, находят аналогично. Пусть на поверхность упруго-изотропного массива действует нагрузка в виде бесконечной полосы, имеющей ширину В, причем нагрузка изменяется по ширине по не­которому закону р = f(х) (рис. 9.8, а}. Тогда нагрузка, приходящая­ся на бесконечно малый элемент ширины полосы dx:

(7.7)

По длине полосы элементарные нагрузки dp образуют бесконеч­ную линейную нагрузку, напряжения от которой определяются вы­ражениями 7.5 и 7.6.

Полное значение напряжений от нагрузки в виде полосы опреде­ляют интегрированием выражений для линейной нагрузки по ширине полосы. Так, вертикальные нормальные напряжения в какой-либо точке

(7.8)

Рис 7.6. Распределение напряжений от загруженной полосы:

а — схема к выводу общей формулы; 6 — схема к определению напряжений в грунте, подстилающем насыпь