Глава 6. Применение математики к другим нау­кам имеет смысл только в единении с глубокой теорией конкретного явления

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ В ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ИССЛЕДОВАНИИ

Применение математики к другим нау­кам имеет смысл только в единении с глубокой теорией конкретного явления. Об этом важно помнить, чтобы не сби­ваться на простую игру в формулы, за ко­торой не стоит никакого реального содер­жания.

Академик Ю.А. Митропольский

Теоретические методы исследования в психологии и педагогике дают возможность раскрыть качественные характеристики изуча­емых явлений. Эти характеристики будут полнее и глубже, если на­копленный эмпирический материал подвергнуть количественной об­работке. Однако проблема количественных измерений в рамках пси­холого-педагогических исследований очень сложна. Эта сложность заключается прежде всего в субъективно-причинном многообразии педагогической деятельности и ее результатов, в самом объекте из­мерения, находящемся в состоянии непрерывного движения и изме­нения. Вместе с тем введение в исследование количественных пока­зателей стало сегодня необходимым и обязательным компонентом получения объективных данных о результатах педагогического тру­да. Как правило, эти данные могут быть получены путем прямого или опосредованного измерения различных составляющих педагоги­ческого процесса либо посредством количественной оценки соответ­ствующих параметров адекватно построенной математической мо­дели педагогического процесса. С этой целью при исследовании проблем психологии и педагогики применяются методы математиче­ской статистики. С их помощью решаются различные задачи: обра­ботка фактического материала, получение новых, дополнительных данных, обоснование научной организации исследования и др.

Основные понятия математической статистики

Исключительно важную роль п анализе многих психолого-педагоги­ческих явлений играют средние величины, представляющие собой обобщенную характеристику качественно однородной совокупности по определенному количественному признаку. Нельзя, например, вы­числить среднюю специальность или среднюю национальность сту­дентов вуза, так как специальность и национальность — качественно разнородные явления. Зато можно и нужно определить среднюю ко­личественную характеристику их успеваемости (средний балл), эф­фективности методических систем и приемов и т.д.

В психолого-педагогических исследованиях обычно применяют­ся различные виды средних величин: средняя арифметическая, сред­няя геометрическая, медиана, мода и др. Наиболее распространены средняя арифметическая, медиана и мода.

Средняя арифметическаяприменяется в тех случаях, когда меж­ду определяющим свойством и данным признаком имеется прямо пропорциональная зависимость (например, при улучшении показа­телей работы учебной группы улучшаются показатели работы каж­дого ее члена).

Средняя арифметическая представляет собой частное от деления суммы величин на их число и вычисляется по формуле:

где X — средняя арифметическая; Х₁, Х₂, Х₃,... X_N — результаты отдель­ных наблюдений (приемов, действий), N — количество наблюдений (приемов, действий), Σ — сумма результатов всех наблюдений (приемов, действий).

Медианой (Me)называется мера среднего положения, характе­ризующая значение признака на упорядоченной (построенной по признаку возрастания или убывания) шкале, которое соответствует середине исследуемой совокупности. Медиана может быть определе­на для порядковых и количественных признаков. Место расположе­ния этого значения определяется по формуле

Например, по результатам исследования установлено, что:

♦ на «отлично» учатся 5 человек из участвующих в эксперименте;

♦ на «хорошо» — 18 человек,

♦ на «удовлетворительно» — 22 человека;

♦ на «неудовлетворительно» — 6 человек

Так как всего в эксперименте принимало участие N= 54 человека, то середина выборки равна 0,5 × N = 27 человек. Отсюда делается вывод, что больше половины обучающихся учатся ниже оценки «хорошо», т.е. медиана больше «удовлетворительно», но меньше «хорошо» (рис. 6.1).

Мода (Мо)— наиболее часто встречающееся типичное значение признака среди других значений Она соответствует классу с макси­мальной частотой. Этот класс называется модальным значением

Например, если ответы на вопрос анкеты «Укажите степень вла­дения иностранным языком» распределились таким образом:

1 — владею свободно — 25,

2 — владею в степени, достаточной для общения — 54,

3 — владею, но испытываю трудности при общении — 253,

4 — понимаю с трудом — 173,

5 — не владею — 28,

то очевидно, что наиболее типичным значением здесь является «Владею, но испытываю трудности при общении», которое и буде! модальным. Таким образом, мода равна 253.

Важное значение при использовании в психолого-педагогиче­ском исследовании математических методов уделяется расчету дис­персии и среднеквадратических (стандартных) отклонений.

Дисперсияравна среднему квадрату отклонений значения иссле­дуемой переменной от среднего значения. Она выступает как одна из характеристик индивидуальных результатов разброса значений ис­следуемой переменной (например, оценок учащихся) вокруг средне­го значения. Вычисление дисперсии осуществляется путем опреде­ления:

♦ отклонения от среднего значения;

♦ квадрата указанного отклонения;

♦ суммы квадратов отклонения и среднего значения квадрата отклонения (табл. 6.1)[16].

Значение дисперсии используется в различных статистических расчетах, но не имеет непосредственного наблюдаемого характера. Величиной, непосредственно связанной с содержанием наблюдаемой переменной, является среднее квадратическое отклонение.

Таблица 6.1 Пример вычисления дисперсии
№ п/п	Значение показателя	Отклонение от среднего	Квадрат отклонения
		2–1=1 2–3=–1 2–3=–1 2–0=2 2–4=–2 2–1=1

Среднее квадратическое отклонениеподтверждает типичность и показательность средней арифметической, отражает меру колебания численных значений признаков, из которых выводится средняя ве­личина. Оно равно корню квадратному из дисперсии и определяется по формуле

где σ — средняя квадратическая. При малом числе наблюдения (дей­ствий) — менее 100 — в значении формулы следует ставить не N, а N – 1.

Средняя арифметическая и средняя квадратическая являются ос­новными характеристиками полученных результатов в ходе исследо­вания. Они позволяют обобщить данные, сравнить их, установить преимущества одной психолого-педагогической системы (програм­мы) над другой.

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение широко при­меняется как мера разброса для различных характеристик. На рис. 6.2 приведен пример распределения частот значений двух переменных с одинаковыми средними, но различным разбросом.

Оценивая результаты исследования, важно определить рассеива­ние случайной величины около среднего значения. Это рассеивание описывается с помощью закона Гаусса (закона нормального распреде­ления вероятности случайной величины). Суть закона заключается в том, что при измерении некоторого признака в данной совокупности элементов всегда имеют место отклонения в обе стороны от нормы вследствие множества неконтролируемых причин, при этом чем больше отклонения, тем реже они встречаются.

При дальнейшей обработке данных могут быть выявлены: коэф­фициент вариации (устойчивости) исследуемого явления, представ­ляющий собой процентное отношение среднеквадратического от­клонения к средней арифметической; мера косости, показывающая, в какую сторону направлено преимущественное число отклонений; мера крутости, которая показывает степень скопления значений случайной величины около среднего и др. Все эти статистические данные помогают более полно выявить признаки изучаемых явле­ний

Меры связи между переменными.Связи (зависимости) между двумя и более переменными в статистике называют корреляцией.Она оценивается с помощью значения коэффициента корреляции, который является мерой степени и величины этой связи.

Коэффициентов корреляции много. Рассмотрим лишь часть из них, которые учитывают наличие линейной связи между переменны­ми. Их выбор зависит от шкал измерения переменных, зависимость между которыми необходимо оценить. Наиболее часто в психологии и педагогике применяются коэффициенты Пирсона и Спирмена.

Рассмотрим вычисление значений коэффициентов корреляции на конкретных примерах.

Пример 1.Пусть две сравниваемые переменные X (семейное по­ложение) и Y (исключение из университета) измеряются в дихото­мической шкале (частный случай шкалы наименований). Для опре­деления связи используем коэффициент Пирсона.

В тех случаях, когда нет необходимости подсчитывать частоту по­явления различных значений переменных X и Y, удобно проводить вычисления коэффициента корреляции с помощью таблицы сопря­женности (табл. 6.2-6.4)[17], показывающей количество совместных появлений пар значений по двум переменным (признакам). А — ко­личество случаев, когда переменная X имеет значение, равное нулю, и одновременно переменная Y имеет значение, равное единице; В — количество случаев, когда переменные X и Y имеют одновременно значения, равные единице; С — количество случаев, когда переменные X и У имеют одновременно значения, равные нулю; D — количество случаев, когда переменная X имеет значение, равное единице, и одновременно переменная Y имеет значение, равное нулю.

В общем виде формула коэффициента корреляции Пирсона для дихотомических данных имеет вид:

Таким образом, коэффициент корреляции Пирсона для выбран­ного примера равен 0,32, т.е. зависимость между семейным положе­нием студентов и фактами исключения из университета незначи­тельная.

Пример 2.Если обе переменные измеряются в шкалах порядка, то в качестве меры связи используется коэффициент ранговой кор­реляции Спирмена (R_s). Он вычисляется по формуле

где R_s — коэффициент ранговой корреляции Спирмена; D_i — раз­ность рангов сравниваемых объектов; N — количество сравниваемых объектов.

Значение коэффициента Спирмена изменяется в пределах от -1 до +1. В первом случае между анализируемыми переменными суще­ствует однозначная, но противоположено направленная связь (с уве­личением значений одной уменьшается значения другой) Во втором с ростом значений одной переменной пропорционально возрастает значение второй переменной. Если величина R_s равна нулю или име­ет значение, близкое к нему, то значимая связь между переменными отсутствует.

В качестве примера вычисления коэффициента Спирмена исполь­зуем данные из табл. 6.5[18].

Подставим данные примера в формулу для коэффициента Спирмена:

Результаты вычисления позволяют говорить о наличии достаточ­но выраженной связи между рассматриваемыми переменными

Статистическая проверка научной гипотезы.Доказательство статистической достоверности экспериментального влияния суще­ственно отличается от доказательства в математике и формальной логике, где выводы носят более универсальный характер: статисти­ческие доказательства не являются столь строгими и окончательны­ми — в них всегда допускается риск ошибиться в выводах, и потому статистическими методами не доказывается окончательно правомер­ность того или иного вывода, а показывается мера правдоподобности принятия той или иной гипотезы.

Педагогическая гипотеза (научное предположение о преимущест­ве того или иного метода и т.п.) в процессе статистического анализа переводится на язык статистической науки и заново формулируется, по меньшей мере, в виде двух статистических гипотез. Первая (основ­ная) называется нулевой гипотезой(Н_о), в которой исследователь говорит о своей исходной позиции Он априори как бы декларирует, что новый метод (предполагаемый им, его коллегами или оппонента­ми) не обладает какими-либо преимуществами, и потому с самого начала исследователь психологически готов занять честную научную позицию: различия между новым и старым методами объявляются равными нулю. В другой, альтернативной гипотезе(H₁)делается предположение о преимуществе нового метода. Иногда выдвигается несколько альтернативных гипотез с соответствующими обозначе­ниями.

Например, гипотеза о преимуществе старого метода обозначается как (Н₂). Альтернативные гипотезы принимаются тогда и только то­гда, когда опровергается нулевая гипотеза. Это бывает в случаях, когда различия, скажем, в средних арифметических эксперименталь­ной и контрольной групп настолько значимы (статистически досто­верны), что риск ошибки отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную не превышает одного из трех принятых уровней значимостистатистического вывода:

♦ первый уровень — 5 % (в научных текстах пишут иногда р = 5 % или α < 0,05, если представлено в долях), где допускается риск ошибки в выводе в пяти случаях из ста теоретически возможных таких же экспериментов при строго случайном отборе испытуемых для каждого эксперимента;

♦ второй уровень — 1 %, т.е. соответственно допускается риск ошибиться только в одном случае из ста (α < 0,01, при тех же требованиях);

♦ третий уровень — 0,1 %, т.е. допускается риск ошибиться только в одном случае из тысячи (α < 0,001).

Последний уровень значимости предъявляет очень высокие тре­бования к обоснованию достоверности результатов эксперимента ипотому редко используется.

При сравнении средних арифметических экспериментальной и контрольной групп важно определить, какая средняя не только боль­ше, но и насколько больше. Чем меньше разница между ними, тем более приемлемой окажется нулевая гипотеза об отсутствии стати­стически значимых (достоверных) различий. В отличие от мышле­ния на уровне обыденного сознания, склонного воспринимать полу­ченную в результате опыта разность средних как факт и основание для вывода, педагог-исследователь, знакомый с логикой статистиче­ского вывода, не будет торопиться в таких случаях. Он, скорее всего, сделает предположение о случайности различий, выдвинет нулевую гипотезу об отсутствии достоверных различий в результатах экспе­риментальной и контрольной групп и лишь после опровержения ну­левой гипотезы примет альтернативную.

Таким образом, вопрос о различиях в рамках научного мышления переводится в другую плоскость. Дело не только в различиях (они почти всегда есть), а в величине этих различий и отсюда — в опреде­лении разницы и границы, после которого можно сказать: да, раз­личия неслучайны, они статистически достоверны, а значит, испы­туемые этих двух групп принадлежат после эксперимента уже не к одной (как раньше), а к двум различным генеральным совокупно­стям, и уровень подготовленности учащихся, потенциально принад­лежащих этим совокупностям, будет существенно отличаться. Для того чтобы показать границы этих различий, используются так назы­ваемые оценки генеральных параметров.

Рассмотрим на конкретном примере (табл. 6.6), как с помощью математической статистики можно опровергнуть или подтвердить ну­левую гипотезу.

Допустим, необходимо определить, зависит ли эффективность групповой деятельности студентов от уровня развития межличност­ных отношений в их учебной группе. В качестве нулевой гипотезы выдвигается предположение, что такой зависимости не существует, а в качестве альтернативной — зависимость существует. Для этих це­лей сравниваются результаты эффективности деятельности в двух группах, одна из которых в этом случае выступает в качестве экспе­риментальной, а вторая — контрольной. Чтобы определить, является ли разность между средними значениями показателей эффективно­сти в первой и во второй группах существенной (значимой), необхо­димо вычислить статистическую достоверность этой разницы.

Таблица 6.6 Данные и промежуточные результаты вычисления значимости статистических различий средних значений
№ п/п	Экспериментальная группа	Контрольная группа
Значение эффек­тивности деятель­ности			Значение эффек­тивности деятель­ности
					–2
		–3			–1
					–1
		–1

где X₁ и Х₂ — средние арифметические значения переменных в груп­пах 1 и 2; M₁ и М₂ — величины средних ошибок, которые вычисляют­ся по формуле

Находим значение t-критерия по формуле

Вычислив величину t-критерия, по специальной таблице опреде­ляют уровень статистической значимости различий между средними показателями эффективности деятельности в экспериментальной и контрольной группах. Чем выше значение t-критерия, тем выше зна­чимость различий.

Для этого t расчетное сравниваем с t табличным. Табличное зна­чение выбирается с учетом выбранного уровня достоверности (р = 0,05 или р = 0,01), а также в зависимости от числа степеней свобо­ды, которое находится по формуле

U = N₁+N₂ –2,

где U — число степеней свободы; N₁, и N₂ — число замеров в первом и во втором рядах. В нашем примере U =7+7–2=12.

Для таблицы t-критерия находим, что значение t_табл= 3,055 для однопроцентного уровня (р < 0,01) при 12 степенях свободы. Таким образом, величина t_табл < t_расч. Следовательно, можно сделать стати­стически обоснованный вывод о том, что эффективность деятель­ности в экспериментальной группе выше, чем в контрольной, при уровне значимости 0,01 (риск ошибки составляет одна из ста теоре­тически возможных).

Однако педагогу-исследователю следует помнить, что существо­вание статистической значимости разности средних значений может быть важным, но не единственным аргументом в пользу наличия или отсутствия связи (зависимости) между явлениями или переменны­ми. Поэтому необходимо привлекать и другие аргументы количест­венного или содержательного обоснования возможной связи.

Многомерные методы анализа данных.Анализ взаимосвязи ме­жду большим количеством переменных осуществляется путем ис­пользования многомерных методов статистической обработки. Цель применения подобных методов — обнаружить скрытые закономер­ности, выделить наиболее существенные взаимосвязи между пере­менными. Примерами таких многомерных статистических методов являются:

♦ факторный анализ;

♦ кластерный анализ;

♦ дисперсионный анализ;

♦ регрессионный анализ;

♦ латентно-структурный анализ;

♦ многомерное шкалирование и др.

Факторный анализзаключается в выявлении и интерпретации факторов. Фактор — обобщенная переменная, которая позволяет свернуть часть информации, т.е. представить ее в удобообозримом виде. Например, факторная теория личности выделяет ряд обобщен­ных характеристик поведения, которые в данном случае называются чертами личности.

Кластерный анализпозволяет выделить ведущий признак и ие­рархию взаимосвязей признаков.

Дисперсионный анализ— статистический метод, используемый для изучения одной или нескольких одновременно действующих и независимых переменных на изменчивость наблюдаемого признака. Его особенность состоит в том, что наблюдаемый признак может быть только количественным, в то же время объясняющие признаки могут быть как количественными, так и качественными.

Регрессионный анализпозволяет выявить количественную (чи­сленную) зависимость среднего значения изменений результативно­го признака (объясняемой) от изменений одного или нескольких признаков (объясняющих переменных). Как правило, данный вид анализа применяется в том случае, когда требуется выяснить, на­сколько изменяется средняя величина одного признака при измене­нии на единицу другого признака.

Латентно-структурный анализпредставляет собой совокупность аналитико-статистических процедур выявления скрытых перемен­ных (признаков), а также внутренней структуры связей между ними.

Он дает возможность исследовать проявления сложных взаимосвя­зей непосредственно ненаблюдаемых характеристик социально-пси­хологических и педагогических феноменов. Латентный анализ мо­жет стать основой для моделирования указанных взаимосвязей.

Многомерное шкалированиеобеспечивает наглядную оценку сходства или различия между некоторыми объектами, описываемы­ми большим количеством разнообразных переменных. Эти различия представляются в виде расстояния между оцениваемыми объектами в многомерном пространстве.