Вопрос 7 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ

Любая математическая модель, описывающая тот или иной объект, явление или процесс, подразумевает наличие определен­ных числовых показателей, которые их характеризуют. Напри­мер, основной характеристикой проекта землеустройства являет­ся площадь участка (контура, угодья, строения, севооборота и т.д.) или его длина (при оговоренной ширине). При моделирова­нии эти показатели или величины заранее заданы и являются пе­ременными (неизвестными), так как цель моделирования — это поиск их наилучших значений.

Все переменные в модели обязательно связаны между собой определенными ограничениями (уравнениями или неравенства­ми). Задача состоит в том, чтобы найти наилучшие значения па­раметров модели, а для этого нужно решить поставленную зада­чу. Математические методы как раз и дают эту возможность: с их помошью можно вычислить оптимальные значения переменных. Тем самым решение математической задачи с применением со­ответствующих методов становится одним из основных этапов моделирования.

Как правило, все землеустроительные экономики-математи­ческие задачи имеют много вариантный, альтернативный харак­тер, и основной вопрос заключается в том, как из множества до­пустимых вариантов выбрать оптимальный по заданному крите­рию. Математически это означает поиск максимума или миниму­ма той или иной функции, то есть решение задачи на экстремум.

При решении таких задач возникает два основных случая, когда:

задача может быть решена классическими методами диффе­ренциального исчисления;

классические методы трудно применимы или вообще не могут быть использованы.

Во втором случае применяют так называемые методы матема­тического программирования, которые находят широкое примене­ние при решении различных инженерно-экономических задач. Термин «программирование» указывает на использование алго­ритма последовательных приближений — программа начинает с произвольного допустимого плана и улучшает его, пока не будет получено наилучшее решение.

Задача математического программирования формулируется следующим образом.

Устанавливается перечень переменных x_h x₂, ..., х„, которые могут принимать различные числовые значения. На эти неизвес­тные налагаются определенные условия, образующие так назы­ваемую систему ограничений. Ограничениями служат уравнения или неравенства, построенные в соответствии с логическим со­держанием задачи. Как правило, они имеют линейный вид (то есть переменные входят в них в первой степени):

Таким образом, требуется найти такой набор значений пере­менных, который удовлетворяет системе ограничений и при ко­тором целевая функция принимает наибольшее или наименьшее значение.

ЕсЛИ система ограничений и целевая функция линейны отно­сительно искомых величин х_ь х₂, ...,х_Л, возникает задача линей­ного программирования; если же имеется хотя бы одно нелиней­ное выражение, мы имеем дело с нелинейным программиройа-нием. Существуют методы для решения задач обоих типов.

Любая совокупность численных значений переменных имену­ется планом задачи; план, удовлетворяющий системе ограниче­ний, называется допустимым. Допустимый план, максимизирую­щий (или минимизирующий) целевую функцию, называется оп­тимальным. Допустимых планов в задаче, как правило, бесчис­ленное множество, и алгоритм решения сводится к выбору из этого множества оптимального плана.

Система линейных или нелинейных ограничений, которой не отвечает ни одна совокупность неотрицательных значений пере­менных, называется несовместной; такая задача не имеет реше­ния. Несовместность системы можно обнаружить или путем про­стого логического анализа, или с помощью специальных матема­тических приемов (например, теории определителей). Совмест­ной называется система, имеющая хотя бы одно допустимое решение.

Из нелинейных условных экстремальных задач математичес­кого программирования выделяются задачи выпуклого програм­мирования, где требуется определить максимум вогнутой функ­ции на выпуклом множестве. Доказано, что любой локальный максимум вогнутой функции, заданной на выпуклом множестве, является ее глобальным максимумом на том же множестве.

Не всегда исходные параметры задачи выражаются опреде­ленными числами, иногда это могут быть случайные величины; в этом случае используют методы стохастического программирова­ния. Задачи, в которых нет необходимости вычислять экстремум на нескольких этапах, называются одноэтапными (статически­ми); многоэтапные задачи требуют применения методов динами­ческого программирования.

В ряде случаев исходные параметры экстремальных задач мо­гут изменяться в определенных пределах; тогда говорят о пара­метрическом программировании. Если же параметры задач по сво­ему реальному смыслу могут принимать лишь ограниченное чис­ло значений (например, только целочисленные значения), при­меняют методы дискретного программирования.Помимо математического программирования в экономичес­ких исследованиях широкое применение получили и другие ко­личественные методы — регрессионного, дисперсионного анализа, межотраслевого баланса и т. д.

номическим задачам применимы методы сетевого планирования, определяющие пути наилучшего перехода производственной си­стемы из одного состояния в другое. Теория стратегических реше­ний рассматривает методы выбора оптимальной стратегии в усло­виях, когда неизвестные обстоятельства субъективного и объек­тивного характера могут противодействовать поставленной цели и снижать эффективность проводимых мероприятий.

Систематическое использование различных разделов матема­тики (линейной алгебры, теории вероятностей, математической статистики, математического программирования, балансовых моделей, теории массового обслуживания, теории графов, тео­рии игр и т. п.) при решении сложных вопросов планирования, проектирования, хозяйственной деятельности по сути привело к разработке самостоятельной ветви прикладной математики (по­лучившей название операционных исследований). Это стало воз­можным в первую очередь благодаря широкому использованию новых средств вычислительной техники и соответствующего программного обеспечения,

иц, систем таблиц и т. п. В землеустроительных расчетах могут использоваться при обосновании проектных решений (балансы кормов, труда, расчеты населения на перспективу, баланс транс­формации и перераспределения земель и т.д.).

Модели сетевого планирования и управления, базирующиеся на одноименных математических методах, применяются при плани­ровании и организации землеустроительных работ, при разра­ботке планов перехода к новому составу угодий и новым сево­оборотам, при составлении планов реализации проекта землеуст­ройства и авторского надзора.

В настоящее время модели данного класса находятся в стадии практической разработки; часть из них будет рассмотрена ниже.