Гауссовская случайная величина

P(t)³0.

Геометрически это означает, что график плотности распределения расположен либо выше оси Ох, либо на этой оси.

2. =1.

Учитывая, что F(+¥)=1, получаем: =1. Т.е. площадь между графиком плотности распределения вероятностей и осью абсцисс равна единице.

14. Основные виды распределений дискретных случайных величин (биномиальное распределение, геометрическое распределение, распределение Пуассона) их числовые характеристики.

15. Основные виды распределений непрерывных случайных величин (равномерное, показательное и нормальное распределение) и их числовые характеристики.

16. Гауссовская случайная величина, ее числовые характеристики. Вероятность попадания гауссовской случайной величины в заданный интервал. Правило «трех сигм».

Гауссовская случайная величина

Случайная непрерывная величина X имеет нормальное (гауссово) распределение, если ее плотность распределения вероятности имеет вид

где — среднее квадратическое отклонение; а — математическое ожидание.

Если а=0 и σ=1, то нормальное (гауссовое) распределение называется стандартным нормальным (гауссовым) распределением (таблица плотности вероятности нормальной случайной величины), плотность которого равна

а функция распределения (функция Лапласа) (таблица функции Лапласа)

Вероятность попадания в заданный интервал (α;β) нормально распределенной случайной величины с параметрами а, σ вычисляется по формуле:

с использованием интеграла вероятности

Из этих соотношений легко получить вероятность отклонения распределения случайной величины X от своего математического ожидания а:

,где δ — величина отклонения.

Полагая в этой формуле δ=3σ, получаем

P(|X-a|<δ)=2Ф(3)=2*0.49865=0.9973

Этот результат носит название «правило трех сигм». Таким образом, в 99,7% случаях все значения нормального распределения случайной величины сосредоточены в интервале(-3σ+a; 3σ+a). Распределение, заданное на бесконечном интервале, может быть рассмотрено на конечном интервале, и погрешность при такой замене равно ,примерно, 0,3%.

17. Системы случайных величин. Функция распределения вероятностей системы двух случайных величин (двумерного случайного вектора), ее свойства.

Упорядоченная пара (X,Y) случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или случайным вектором двумерного пространства. Двумерная случайная величина (X,Y) называется также системой случайных величина X и Y. Множество всех возможных значений дискретной случайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины. Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) считается заданной, если известен ее закон распределения:

P(X=x_i, Y=y_j) = p_ij, i=1,2...,n, j=1,2...,m

Пусть Х = (Х1, Х2,…,ХN) – cовокупность (или система) случайных величин.

Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств , , K = 1, 2, ..., N.

Свойства функции распределения аналогичны свойствам функции распределения одномерной случайной величины. Например, для системы двух случайных величин X и Y:

1) F(х, у) – неубывающая функция своих аргументов;

2) ;

3) , где F1(X), F2(Y) – функции распределения компонент X и Y;

4) .

18. Плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин (двумерного случайного вектора), ее свойства.

Предположим, что функция распределения непрерывна и дважды дифференцируема. Тогда смешанная частная производная функции

Функция называется плотностью распределения системы непрерывных случайных величин . Зная плотность распределения , можно определить вероятность попадания случайной точки в произвольную область

Используя формулу (5.1), выразим функцию распределения системы через плотность распределения :

Рассмотрим свойства плотности распределения системы двух случайных величин.

Свойство 1. Плотность распределения есть функция неотрицательная: .

Свойство 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от плотности распределения системы равен единице:

19. Вероятность попадание случайной точки в заданную область (в том числе прямоугольную).

Вероятность попадания случайной точки в заданную область выражаются наиболее просто в том случае, когда эта область представляет собой прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям.

Выразим через функцию распределения системы вероятность попадания случайной точки в прямоугольник , ограниченный абсциссами и и ординатами и (рис. 8.2.5).

При этом следует условиться, куда мы будем относить границы прямоугольника. Аналогично тому, как мы делали для одной случайной величины, условимся включать в прямоугольник его нижнюю и левую границы и не включать верхнюю и правую. Тогда событие будет равносильно произведению двух событий: и . Выразим вероятность этого события через функцию распределения системы. Для этого рассмотрим на плоскости четыре бесконечных квадранта с вершинами в точках ; ; и (рис. 8.2.6).

Рис. 8.2.5. Рис. 8.2.6

Очевидно, вероятность попадания в прямоугольник равна вероятности попадания в квадрант минус вероятность попадания в квадрант минус вероятность попадания в квадрант плюс вероятность попадания в квадрант (так как мы дважды вычли вероятность попадании в этот квадрант). Отсюда получаем формулу, выражающую вероятность попадания в прямоугольник через функцию распределения системы:

.

20. Независимость нескольких случайных величин. Связь с коэффициентом корреляции.

Случайные величины называют независимыми (в совокупности), если для любого набораборелевских множеств , ..., имеет место равенство:

Коэффициент корреляции - это сила и направление связи между независимой и зависимой переменными. Значения r находятся в диапазоне между - 1.0 и + 1.0. Когда r имеет положительное значение, связь между х и у является положительной, а когда значение r отрицательно, связь также отрицательна. Коэффициент корреляции, близкий к нулевому значению, свидетельствует о том, что между х и у связи не существует.

21. Ковариация, коэффициент корреляции, их свойства. Условные законы распределения.

Ковариация являетcя совместным центральным моментом второго порядка.[6] Ковариация определяется как математическое ожидание произведения отклонений случайных величин

Так как и — независимые случайные величины, то и их отклонения и также независимы. Пользуясь тем, что математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей, а математическое ожидание отклонения равно нулю, имеем

Свойства ковариации:

Ковариация двух независимых случайных величин и равна нулю^[

Абсолютная величина ковариации двух случайных величин и не превышает среднего геометрического их дисперсий: