Пояснения к решению задач 4.1÷4.10

Сложный трубопровод имеет разветвленные участки, со­стоящие из нескольких труб (ветвей), между которыми распределяется жидкость, поступающая в трубопровод из питателей.

Сечения трубопровода, в которых смыкаются несколько ветвей, называются узлами. В зависимости от структуры разветвленных участков различают следующие основные типы сложных трубо­проводов: с параллельными ветвями, с концевой раздачей жидкости, с непрерывной раздачей жидкости, с кольце­выми участками. В практике встречаются также разно­образные сложные трубопроводы комбинированного типа.

Как и при расчете простого трубопровода можно выделить три основные группы задач расчета слож­ных трубопроводов.

1. Определение размеров труб по заданным в них расходам и перепадам напоров в питателях и приемниках.

2. Определение перепадов напоров в питателях и приемниках по заданным расходам в трубах заданных размеров.

3. Определение расходов в трубах заданных размеров по известным перепадам напоров.

Последние две группы задач представляют поверочные расчеты существующего трубопровода, выясняющие условия его работы при различных значениях гидравлических параметров.

Встречаются также задачи смешанного типа, пред­ставляющие комбинации из задач основных групп.

Для решения сформулированных задач составляется система уравнений, которые устанавливают функциональ­ные связи между параметрами, характеризующими по­токи жидкости в трубах, т. е. между размерами труб, расходами жидкости и напорами. Эта система состоит из уравнений баланса расходов для каждого узла и уравне­ний баланса напоров (уравнений Бернулли) для каждой ветви трубопровода.

Поскольку обычно сложные трубопроводы являются длинными, в уравнениях Бернулли можно пренебрегать скоростными напорами, принимая полный напор потока в каждом расчетном сечении трубопровода практически равным гидростатическому и выражая его высотой пьезо­метрического уровня над принятой плоскостью сравнения. Кроме того, в сложных трубопроводах можно также пре­небрегать относительно малыми местными потерями напора в узлах. Это значительно упрощает расчеты, по­скольку позволяет считать одинаковыми напоры потоков в концевых сечениях труб, примыкающих к данному узлу, и оперировать в уравнениях Бернулли понятием напора в данном узле.

Потери напора в трубах выражаются формулой

которую для расчета удобно привести к виду

(4.1) (4.1)

где l_i и d_i — длина и диаметр трубы; ξ_ik— коэффициент местного сопротивления; v_i — средняя скорость потока в трубе; λ_i — коэффициент сопротивления трения; L_i — приведенная длина трубы (учитывает местные сопротив­ления с помощью их эквивалентных длин l_1Э); L_i = l_i + / l_iэ , здесь

Числовой множитель в формуле (4.1) равен 16/(π²2g), где уско­рение свободного падения g выражено в м/с².

Конкретный вид системы расчетных уравнений и способы ее решения определяются типом сложного трубо­провода и характером поставленной задачи. Для получе­ния однозначного решения система расчетных уравнений должна быть замкнутой, т. е. число независимых неиз­вестных в ней должно быть равно числу уравнений.

Ниже рассматриваются способы расчета основных ти­пов сложных трубопроводов.

I. Трубопроводы с параллельными ветвями.

В таких трубопроводах разветвленные участки со­стоят из нескольких труб, соединяющих два данных.

Общая схема трубопровода с параллельными ветвями (рис. 4.1) включает питатель, трубу, подводящую жидкость к разветвлен­ному участку, параллель­ные трубы на разветвлен­ном участке, трубу, от­водящую жидкость от раз­ветвленного участка, при­емник.

В частных случаях некоторые элементы этой схемы могут отсутство­вать.

Составляя для рас­сматриваемого трубопро­вода уравнения баланса расходов в узлах, имеем

Q = Q₁+…+Q_i + … + Q_n (4.2)

где индекс i относится к любой из параллельных труб;

Q=Q_подв=Q_отв - расход в подводящей и отводящей трубах (магистральный расход).

Составляя уравнения Бернулли для каждой из труб, получаем

Н - У_а = h_п.подв

…………………

У _A - У_B = h_пi

…………………

У_В=h_п.отв, (4.3)

где H — напор трубопровода, т. е. перепад напоров в питателе и приемнике; у_А и у_в — напоры в узлах, отсчитанные от уровня в приемнике.

Сравнивая уравнения Бернулли записанные для па­раллельных труб, приходим к соотношению:

h_п1=…=h_пi=…=h_пn, (4.4)

которое показывает, что потери напора в параллельных трубах равны между собой. Следовательно, потеря напора в разветвленном участке между узлами равна потере нaпора в любой из параллельных труб, соединяющей эти узлы:

h_п=…=h_пi. (4.5)

Суммирование потерь напора в последовательно рас­положенных участках сложного трубопровода (подводя­щая труба, разветвленный участок, отводящая труба) приводит к соотношению:

H= h_п.подв+h_п+ h_п.отв =h_п.подв+h_пi+ h_п.отв, (4.6)

которое выражает баланс напоров в сложном трубопроводе с параллельными ветвями.

Таким образом, система расчетных уравнений с учетом формулы (4.1) может быть приведена к виду:

(4.7)

Система уравнений (4.7) позволяет решить любую из сформулированных выше задач.

Решение этой системы выполняют методом последова­тельных приближений, так как, не зная размеров труб или идущих по ним расходов, нельзя точно определить коэффициенты сопротивления λ_i и ξ_ik в этих трубах.

Для решения в первом приближении принимают, что в трубах имеет место квадратичный закон сопротивления и значения λ_i и ξ_ik определяются только относительной шероховатостью труб.

Решив уравнения с выбранными значениями коэф­фициентов сопротивлений и определив искомые величины, повторяют решение во втором приближении, пользуясь более точными значениями λ_i и ξ_ik, вычисленными по расходам, которые получены в первом приближении. Приближения повторяют до практического совпадения получаемых результатов. Обычно уже второе приближение оказывается достаточно точным.

В ряде случаев при аналитическом решении системы уравнений (4.7) удобно заменить пучок параллельных труб одной эквивалентной трубой, которая пропускает весь расход, проходящий через параллельные трубы, при потере напора, равной потере, на разветвленном участке.

Размеры эквивалентной трубы (диаметр d_э и длина L_э) связаны с размерами параллельных ветвей соотношением:

(4.9)

При расчете этим способом схема трубопровода с па­раллельными ветвями приводится к схеме простого трубо­провода, в который эквивалентная труба входит как один из последовательных неразветвленных участков.

Для схемы трубопровода, показанной на рис. 4.1, уравнение баланса напоров в этом случае имеет вид:

(4.10)

Решение системы уравнений (4.7) для трубопровода с заданными размерами удобно получать графическим методом. Для этого прежде всего строят характеристики всех труб системы по уравнению (4.1). Характеристика представляет собой зависимость потерь напора в трубе от расхода. При турбулентном течении в трубе ее харак­теристика является практически квадратичной параболой; при ламинарном течении в длинной трубе — практически прямой.

Характеристики параллельно работающих ветвей за­тем суммируют согласно уравнениям (4.2) и (4.4), т. е. путем сложения абсцисс кривых (расходов) при одинако­вых ординатах (напорах). Полученную в результате такого суммирования характеристику разветвленного участка можно рассматривать как характеристику эквивалентной трубы, заменяющей данные параллельные.

Характеристику разветвленного участка суммируют затем с характеристиками подводящей и отводящей труб согласно уравнению (4.6), т. е. путем сложения ординат (напоров) при одинаковых абсциссах (расходах). Полу­ченная в результате кривая является характеристикой сложного трубопровода (рис. 4.2).

Полная схема графического расчета сложного трубо­провода с двумя параллельными ветвями показана на рис. 4.3.

Характеристики позволяют по заданному расходу в одной из ветвей определить потребный напор сложного трубопровода или по заданному располагаемому напору определить расходы во всех трубах.

Для решения первой задачи нужно известный расход, например Q₁ отложить на оси абсцисс и через получен­ную точку А провести вертикаль до пересечения с характеристикой первой ветви. Ордината полученной при этом точки В₁ выражает потери напора в параллельных ветвях:

h_п1 = h_п2 = h_п.

Если через точку B₁ провести горизонталь до пересечения с характеристикой разветвленного участка, то получим точку С, абсцисса которой выражает суммарный расход Q = Q₁ + Q₂. Проведя через точку С вертикаль до пересечения с характеристикой сложного трубопро­вода, получим точку D, ордината которой выражает искомый напор Н.

Для решения второго вопроса нужно на оси ординат отложить известный напор Н и через полученною точку Е провести горизонталь до пересечения с суммарной харак­теристикой сложного трубопровода. Абсцисса полученной при этом точки D выражает суммарный расход Q = Q₁ + Q₂.

Если через точку D провести вертикаль до пересече­ния с характеристикой разветвленного участка, то орди­ната полученной при этом точки С будет представлять потери напора в каждой из параллельных ветвей. Если через точку С провести горизонталь до пересечения с характеристиками ветвей, то получим точки В₂ и В₁ абсциссы которых являются расходами в ветвях.

Если характеристики построены с учетом изменения коэффициента сопротивления трения и коэффициентов местных сопротивлений в зависимости от режимов тече­ния жидкости в трубопроводах, то отпадает необходимость в последовательных, приближениях, что является значи­тельным преимуществом графического метода.

Соотношения (4.2) и (4.4) могут быть использованы не только для расчета сложных трубопроводов с парал­лельными ветвями, но и для расчета сложных трубопро­водов с концевой раздачей в тех случаях, когда перепады напоров в ветвях, расходящихся из одного узла, оказы­ваются равными. На рис. 4.4 показаны некоторые схемы таких трубопроводов.

II. Трубопроводы с концевой раздачей.

В трубопроводах этого типа жидкость, поступающая к узлам из питателей, распределяется между несколькими ветвями, по которым она направляется к приемникам с различными напорами жидкости (рис. 4.5, где жидкость, подводимая к узлу А, раздается по трубам в приемники с напорами Н_В, Н_С, H_D).

Расчет трубопровода с концевой раздачей рассмотрим на простейшей схеме трубопровода, соединяющего три резервуара и имеющего один узел (рис. 4.6).

Расчет трубопровода с концевой раздачей рассмотрим на простейшей схеме трубопровода, соединяющего три резервуара и имеющего один узел (рис. 4.6).

Особенностью рассматриваемой схемы является то, что система расчетных уравнений получается различной в зависимости от направления потока в трубе, соединя­ющей узел со средним резервуаром 2. Верхний резер­вуар 1 всегда является питателем, и жидкость поступает из него к узлу. Нижний резервуар 3 всегда является приемником, и жидкость поступает к нему от узла. Ре­зервуар 2 может быть как приемником, так и пита­телем.

Направление потока в трубе 2 определяется соотно­шением между напором у в узле и напором Н₂ в среднем резервуаре. В зависимости от этого соотношения воз­можны три случая распределения расходов в трубах и в соответствии с этим три различные системы расчетных уравнений.

1. Если напор у в узле меньше напора Н₂ в резервуаре 2 (у < Н₂), то жидкость из резервуаров 1 и 2 перетекает в резервуар 3, и система уравнений для решения задачи имеет вид

(4.8)

2. Если у > Н₂, то жидкость из резервуара 1 пере­текает в резервуары 2 и 3, ирасчетная система уравнений принимает вид:

(4.9)

3. Если у = Н₂, расход Q₂ = 0, Q₁ = Q₃ = Q, и жидкость перетекает из резервуара 1 в резервуар 3. Расчетная система уравнений имеет вид:

(4.10)

Если система включает трубы, которые оканчиваются сходящимися насадками, открытыми в атмосферу, то при составлении уравнений баланса напоров для таких труб следует учитывать скоростные напоры на выходе из насадков.

Системы расчетных уравнений выбирают в зависимости от постановки задачи. Направление потока в трубе 2 может быть наперед задано условиями задачи или же, если оно заранее неизвестно, должно определяться в про­цессе самого решения.

Рассмотрим, например, случай, когда известными в задаче являются напоры в резервуарах и размеры всех труб; требуется определить расходы в трубах.

Решение следует начинать с определения направления потока в трубе 2, для чего используется специальный прием «выключения ветви». При этом вычисляют напор у' в узле при выключенной трубе 2, когда Q₂ = 0 и Q₁ = = Q₃. Составляя уравнения Бернулли для труб 1 н 3 и решая их относительно у', получаем:

(4.11)

Если это уравнение дает значение у' < Н₂, то при вклю­чении трубы 2 работа сложного трубопровода будет со­ответствовать рассмотренному выше первому расчетному случаю, и для решения задачи нужно воспользоваться системой уравнений (4.8).

Если у' > Н₂, то при включении трубы 2 имеем вто­рой случай, и для решения задачи используются уравне­ния системы (4.9).

Если у' = Н₂, то при включении трубы 2 расход в ней равен нулю, и расчет производится соответственно третьему случаю по уравнениям (4.10).

Так как расходы в трубах являются в этой задаче искомыми неизвестными и, следовательно, значения коэф­фициентов сопротивлений труб заранее точно определить нельзя, аналитическое решение проводится методом по­следовательных приближений.

Рассмотренная здесь задача может быть решена и графическим методом, т. е. путем графического решения приведенных выше расчетных систем уравнений.