Рівняння. Нерівності зі змінною

Поняття рівняння тісно пов'язане з поняттям виразу, змінної, рівності. З рівняннями діти ознайомлюються у 3 класі. Відповідна підготовча робота розпочинається з 1 класу. Вона передбачає виконання вправ з "віконцями" та знаходження невідомого компонента арифметичних дій на основі зв'язків між компонентами та результатами арифметичних дій.

Розв'язування рівнянь. Ознайомлення з рівняннями грунтується на двох вправах, поданих нижче.

Вправа 1. Порівняй і замість зірочки постав знак ">", "<" або "=", якщо відомо, що в усіх випадках х = 5.

13-х = 8 л;+ 22 *25 *-2 * 10

16 - х> 10 х+ 5 * 10 х~ 1 * 4

Після перевірки правильності виконання завдання вчитель пропонує учням виписати в окремий рядок усі рівності і повідомляє їм, що рівності зі змінною (з невідомим) називають рівняннями. У кожному з виписаних рівнянь невідоме дорівнює 5. Це розв'язок кожного з даних рівнянь. Вправа 2 _}

13 —х =8 х+5 = 10 х-1 = 4

Це — рівняння. Розв'язати рівняння означає знайти те числове значення букви, при якому рівність буде правильною.

Перевірте (усно), чи правильно розв'язані рівняння. х + 8 = 11 20 + х = 52

х = II — 8 х=52-20

х = 3 х — 32

Після виконання завдання вчитель повідомляє, що невідомий доданок у рівнянні можна знаходити добором або за правилом знаходження невідомого доданка.

На наступному уроці вчитель подає зразок міркування при розв'язуванні рівняння на знаходження невідомого доданка.

Методика викладання математики в початкових класах

Міркування. У рівнянні х + 7 = 70 невідомий перший доданок, відомі другий доданок і сума. Щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок. Запишемо рівняння так"

х + 7 = 70 х=70-7 х=63 Перевіримо (усно):

63 + 7 = 70 70 = 70

Рівняння на знаходження зменшуваного або від'ємника пропонують

учням після повторення правил на знаходження відповідних компонентів.

У 3 класі діти вчаться розв'язувати рівняння на знаходження невідомого

множника, діленого, дільника. Кожне з цих рівнянь розглядають одразу після

ознайомлення з відповідним правилом. До розгляду правил учні мають справу

3 рівняннями цього виду на рівні вправ з "віконцями". Наприклад, добери потрібні числа:

•2 = 8 Ц:3 = й 32 : П — 8

Вони ознайомлюються також з розв'язуванням рівнянь, що потребують письмових обчислень.

Наприклад: 765 -х = 567 _765 Перевірка: ,765

х= 765-567 567198 ■

х=198 198 567

567 = 567

У процесі формування вмінь розв'язувати рівняння практикують як усне розв'язування, так і з записами у зошиті.

З усіма різновидами рівнянь на знаходження невідомого компонента учні ознайомлюються в 3 класі. У 4 класі вони лише закріплюють навички, розв'язують рівняння в нових числових межах. Однак вважаємо, що учнів

4 класу потрібно ознайомити з розв'язуванням рівнянь на дві операції.

Розв'язування задач складанням рівнянь. Упочатковій школі способом складання рівнянь розв'язують лише прості задачі. Для першого ознайомлення з розв'язуванням задач складанням рівнянь доцільно взяти подану нижче задачу.

Задача. Михайлик і Андрійко знайшли 10 грибів. Михайлик знайшов 6 грибів. Скільки грибів знайшов Андрійко ?

Відповідаючи на поставлені вчителем запитання, учні повторюють задачу.

Бесіда. За умовою задачі Михайлик і Андрійко знайшли 10 грибів, а сам Михайлик — 6 грибів. Нам невідомо, скільки грибів знайшов Андрійко. Позначимо кількість грибів, які знайшов Андрійко, буквою х.

Якщо би Михайлик знайшов 6 грибів, а Андрійко — 3 гриби, то як треба було би записати: скільки всього грибів зібрали діти? (Треба до числа 6 додати 3). Правильно. Однак у задачі сказано, що Михайлик знайшов 6 грибів, а Андрійко — х. Як записати, скільки всього грибів знайшли діти? (6 + х). Чому дорівнює за умовою задачі 6 + х? (10). Отже, як запишемо рівняння? (6 + х = 10). Розв'яжемо його. 284

РозділXIII. Пропедевтика алгебри в початкових класах

Для первинного закріплення учні під керівництвом вчителя розв'язують такі задачі:

1. Задумане число зменшили на 12 й отримали 36. Яке число задумали?

2. До задуманого числа додали ЗО й отримали 63. Знайдіть задумане число. Позначте задумане число буквою х, а потім складіть і розв'яжіть рівняння.

Прокоментуємо розв'язування першої задачі. Задумане число х. У задачі сказано, що задумане число зменшили на 12. Щоб зменшити число на 12, треба від нього відняти 12. Будемо мати: х — 12. У задачі сказано, що після зменшення на 12 отримали 36. Запишемо: х — 12 = 36.

Розв'яжемо рівняння. У ньому невідоме зменшуване. Щоб знайти зменшуване, треба до різниці додати від'ємник. Запишемо: х= 36 + 12 х=48

Перевіримо: 48 - 12 = 36 36 = 36

На наступних уроках діти ознайомлюються з абстрактними задачами на знаходження невідомого множника, невідомого діленого і невідомого дільника.

Сильнішим учням можна запропонувати і складені задачі розв'язати рівнянням. Такі задачі пропонуються серед завдань із "зірочкою".

Нерівність зі змінною. Розв'язування нерівностей у початкових класах не є обов'язковою вимогою програми. Нерівності розглядають для ознайом­лення з ними. (А це означає, що такі завдання не входять до контрольних робіт). Вправи з нерівностями здебільшого є цікавими завданнями на порівняння виразу зі змінною з даним числом. Термін "розв'язати нерівність" не вводиться, бо переважно обмежуються кількома значеннями змінної, при яких утворюється правильна нерівність.

Нерівності з "віконцями" трапляються вже у 2 класі. Учням пропонують дібрати число, яке треба вставити у "віконце" (замість зірочки), щоб отримати правильну нерівність або рівність. Наприклад:

1. Перепиши, поставивши у клітинку потрібне число.

25 + 8 > 25 +■•* ₍ 40 - 12 < 40-*

16-5 > 15-* 34+ 10 < 34 + *

2. Добери такі числа, щоб нерівності й рівності були правильними.

5 • 6 > 5 - * 7-4<7-* 6-6 + 6 = 6-*

У ході опрацювання таких вправ учитель спонукає дітей, щоб вони назвали різні числа. Упорядкувавши числа, доцільно подати узагальнення. Наприклад, у нерівність 4 + * < 10 можна підставляти будь-які числа, менші від 6.

Вперше нерівності зі змінною розглядаються наприкінці вивчення таб­личного множення і ділення, їх теж розв'язують методом добору (усно). Наведемо приклад.

З чисел 65, 70, 75 і 80 випишіть ті значення х, при яких нерівність х — 65 < 8 правильна.

Бесіда. Підставимо числові значення букви х у нерівність, обчислимо різницю і порівняємо результат з числом 8.

Методика викладання математики в початкових класах

65 — 65 = 0, 0 < 8, тому число 65 підходить;

70 — 65 = 5, 5 < 8, тому число 70 теж підходить;

75 - 65 = 10, 10 > 8, число 75 не підходить;

80 - 65 = 15, 15 > 8, число 80 не підходить.

Відповідь. 65, 70.

Складнішими є завдання, в яких не вказується множина значень змінної. Серед них учні повинні вибрати ті, при яких вказана нерівність є правильною. Учні самі добирають такі значення змінної. Наприклад:

Знайди два таких значення к, щоб нерівність к • 7 > 40 була правильною.

Слабші учні будуть надавати букві к значень, починаючи з одиниці, а сильніші, виходячи зі знання таблиць множення, можуть відразу запропо­нувати ті значення букви к, при яких нерівність буде правильною. Якщо пропонують знайти всі значення змінної, при яких нерівність правильна, то в кількісному значенні їх множина нечисельна. Наприклад, для нерівності х — 20 < 8 вона складається з восьми чисел: 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27. Проте правомірне й розв'язування нерівностей з такими відповідями, як х > 10, х < 10. Аналізуючи нерівність х - 40 > 0, учень міркує так: "Можна буде відняти, якщо зменшуване дорівнюватиме 40 або буде більше від 40. Проте 40 — 40 = 0".

Відповідь. Усі числа, більші від 40, тобто х > 40.

У плани уроків слід частіше вносити завдання з нерівностями.

§47. Формування уявлень учнів про функціональнузалежність

У плані функціональної пропедевтики поняття функції вживатимемо у вузькому розумінні — як зв'язок між змінними величинами.

З метою формування уявлень молодших школярів про змінні та сталі величини, про зв'язки між величинами у діючих підручниках з математики подаються вправи з таблицями, вправи на знаходження значень виразів зі змінною, задачі з пропорційними величинами.

У початкових класах учні ознайомлюються з вимірюванням деяких величин (довжина, площа, маса, час), встановлюють зв'язки між величинами: ціна, кількість і вартість; маса одного предмета, кількість предметів і загальна маса; швидкість, час і відстань при рівномірному русі тіла тощо. Діти спостерігають, як змінюється результат арифметичної дії від зміни компонентів. Названі величини попарно перебувають у різних видах залежностей: прямо пропорційній (ціна і вартість, множник і добуток); обернено пропорційній (ціна і кіль­кість, дільник і частка); лінійній (доданок і сума, зменшуване і різниця).

Завдання вчителя полягає в тому, щоб під час виконання відповідних вправ спрямувати увагу учнів на ці зв'язки і залежності. При цьому, звичайно, не використовують відповідні термінологію й символіку. Ознайомлення дітей з функціональною залежністю відбувається в неявному вигляді. Вчитель оперує лише словами "залежність", "змінна величина".

У початкових класах функціональну залежність між величинами зде­більшого описують словами та показують її за допомогою таблиці. 286

РоздіпХШ. Пропедевтика алгебри в початкових класах

Словесний спосіб використовується при розв'язуванні задач в яких розглядаються взаємопов'язані величини.

Задача. У склянки з чаєм розклали 12 грудочок цукру по 2 грудки в кожну на скільки склянок вистачило цього цукру?

Бесіда. Виконаємо малюнок (мал. 146). Намалюємо 12 кружечків і підкреслимо кожних два кружечки.

Мал. 146

Запишемо розв'язання задачі. 12:2 = 6 (скл.).

Дізнаємося, на скільки вистачить цього цукру, якщо у кожйу^Шянку покласти по 3 грудочки цукру (мал. 147).

Мал. 147

Запишемо розв'язання задачі. 12:3 = 4 (скл.).

З'ясуємо, на скільки склянок вистачило б цього цукру, якщо у кожну склянку покласти по 4 грудочки (мал. 148).

Мал. 148

Запишемо розв'язання задачі. 12:4 = 3 (скл.).

Розглянемо малюнки ще раз. Якщо поклали по 2 грудочки цукру то його вистачило на 6 склянок, по 3 грудочки - на 4 склянки, по 4 грудочки -на 3 склянки. В якому випадку склянок з чаєм менше? (В останньому бо тут поклали по 4 грудочки цукру). Отже, чим більше покладемо грудочок у кожну склянку, тим менше отримаємо склянок чаю з цукром.

Між кількістю грудочок цукру і кількістю склянок з чаєм існує певна залежність.

Табличний спосіб передбачений багатьма вправами, в яких є функціональна залежність між змінними. Наведемо приклад.

Вправа. Складіть усі можливі приклади на додавання одноцифрових чисел з відповіддю 12.

Під час виконання цієї вправи можна скласти таблицю.

Методика викладання математики в початкових класах

За допомогою таблиці встановлюється функціональна залежність значень другого доданка від значень першого.

Розглянемо основні види функціональних залежностей, з якими мають справу молодші школярі у початковому курсі математики.

Лінійна залежність. Знаходження значень таких виразів, як 5 • а + 7; 9 • а — 3; 100 - а ■ 2, є не що інше, як знаходження значень функції для заданих значень аргументів. Аргументом є змінна а, функцією — вираз із цією змінною. З вправами на знаходження значень виразів учні час від часу мають справу, але бажано посилити увагу до випадків впорядкованої множини змінної.

Вправа. Знайдіть значення виразу: 5 • а + 7, якщо а набуває значень одноцифрових чисел. Побудуйте таблицю і запишіть у ній значення змінної а і значення виразу: 5 • а + 1.

Бесіда. Найменше значення змінної а дорівнює 0, найбільше значення — 9. Кожного разу значення змінної збільшується на одиницю. Як змінюється при цьому значення виразу: 5 • а + 7? (Збільшується кожного разу на 5).

Якщо значення змінної о дорівнює 5, то яке значення виразу? (Значення виразу дорівнює 32). Кожному значенню змінної відповідає єдине значення виразу.

Один з видів лінійної залежності — зміна результатів дій першого ступеня від зміни одного з компонентів. Учні мусять розуміти характер зміни результатів дій залежно від зміни одного з компонентів і мати уявлення про кількісні зміни (в такій залежності).

Задачі на лінійну залежність величин широко подані в початковому курсі математики. До них, зокрема, належать усі прості задачі на дії першого ступеня. Серед задач на дві дії з лінійною залежністю величин типовим прикладом буде подана нижче задача.

Задача. Маса півня дорівнює 3 кг, а індика — 14 кг. Скільки кілограмів становить маса 7півнів і одного індика? {~і • 7 + 14).

З метою розкриття лінійної залежності можна до цієї задачі поставити запитання: Скільки кілограмів становить маса одного півня й індика? Двох півнів та індика? Трьох півнів та індика?

Робота над задачами ведеться в звичайному методичному плані. Проте час від часу треба звертати увагу учнів на характер залежності між величинами, змінювати числові дані в задачі і потім порівнювати її з попередньою.

Прямо пропорційна залежність. Задачі з пропорційними величинами займають вагоме місце в початковому курсі математики. Це задачі, в яких величини перебувають у прямо пропорційній залежності (ціна товару і вартість, маса одного ящика з овочами і загальна маса, кількість виробів і тривалість часу їх виготовлення, швидкість руху і відстань, довжина сторони

квадрата і його периметр тощо). У прямо пропорційній залежності перебу­вають множник і добуток (якщо сталий інший множник), частка і ділене (якщо сталий дільник).

У ході розв'язування простих задач на прямо пропорційну залежність в учнів мають бути сформовані чіткі уявлення про характер тих взаємозв'язків між величинами, на основі яких розв'язується задача. У цьому допомагають: наочна інтерпретація задачі; практичне розв'язування задачі; зміна одного з даних задачі з подальшим порівнянням задач. Розгляньмо приклад.

Задача. Пшоно розсипали в торбинки. У 5 однакових торбинках 15 кг пшона. Скільки кілограмів пшона в 3 таких торбинках?

Після розв'язання задачі можна скласти таку табличку: Кількість торбинок 2 4 6

Кількість пшона 6 12 18

Бесіда. Якщо було 2 торбинки, то в них містилося 6 кг пшона. У скільки разів збільшилась кількість торбинок у другому стовпчику? (У 2 рази). Порівняйте, у скільки разів збільшилася кількість пшона у другому стовпчику? (У 2 рази). Порівняємо числа першого і третього стовпчиків. У скільки разів збільшилась кількість торбинок? (У 3 рази). А в скільки разів збільшилась кількість пшона? (Теж у 3 рази). Отже, у скільки разів збільшилась кількість торбинок, у стільки ж разів збільшилась і кількість пшона.

Обернено пропорційна залежність. В обернено пропорційній залежності перебувають: ціна і кількість товару, час і швидкість руху, дільник і частка тощо.

Розгляньмо розв'язання задачі, в якій величини перебувають в обернено пропорційній залежності.

Задача. Для дитячого садка на 24 грн. закупили фарби для малювання ціною по 2 грн. за коробку. Скільки коробок фарб купили для дитячого садка?

Розв'язавши задачу, доцільно з'ясувати з учнями, скільки можна купити за ці гроші коробок фарб, ціна яких у 2 рази більша, у 3 рази більша; звернути їх увагу на те, що при збільшенні ціни у два (три, чотири) рази кількість коробок фарб, які можна купити за 24 грн., відповідно зменшується у два (три, чотири) рази.

Отже, при розв'язуванні задач з пропорційними величинами за допомогою відповідних запитань можна добитися певного уявлення учнів початкових класів про функціональну залежність.

Використання буквеної символіки для узагальнення знань. Традиційно вважається, що в початкових класах учні розв'язують багато однорідних вправ, порівнюють їх, знаходять спільні ознаки, роблять висновки й узагальнення. Проте у навчанні молодших школярів узагальнення нерідко відбувається і на основі розв'язку одного-двох прикладів чи конкретної задачі, яка є прикладом певного виду задач. У такий спосіб учні ознайомлюються, зокрема, з алгоритмами арифметичних дій, з деякими новими видами задач.

Методика викладання математики в початкових класах 289

При цьому найпростіший прийом узагальнення — заміна числових даних буквами.

Буквене позначення компонентів і результатів арифметичних дій. Під час

введення буквеного позначення компонентів бесіду здебільшого проводять на основі задачі. Наведемо зразок.

Задача. У першій отарі 180 овець, а в другій — 210. Скільки всього овець удвох отарах?

Як дізнатися скільки всього овець удвох отарах? (Треба додати числа 180 і 210). Замість чисел 180 і 210 можуть бути й інші числа. Якщо числа змінюються, то зручніше їх позначати буквами. Можемо вважати, що в першій отарі а овець, а в другій — Ь овець. Скільки овець тоді буде в обох отарах разом? (а + Ь). Якщо цю суму позначити буквою с, то отримаємо таку рівність: а + Ь = с. Як називаються числа а і Ь'І (Доданки). Як називається число с? (Сума). Сумою називають також і вираз: а + Ь.

Подібні бесіди проводяться і для решти арифметичних дій: а ~ Ь= с; а ■ Ь = с; а : Ь = с.

У 3 класі узагальнюються випадки дій, пов'язаних з числами 1 і 0: а • 1 = а; а : а= ї;а : І= а;а + 0= а;а — а = 0; 0 ■ а = 0; 0 : а = 0. Застосування тут буквеної символіки допомагає дітям давати правильні пояснення. Наприклад, для випадку а • 0=0: при множенні числа на нуль отримуємо нуль, тому 0-0 = 0.

Буквене позначення зв'язків між компонентами і результатами арифметичних дій. У початковій школі опрацьовують задачі на знаходження невідомого компонента. Проте правила знаходження невідомих компонентів у підруч­никах не подано. Це пояснюється тим, що вчителі занадто вимогливо ставляться до заучування учнями правил напам'ять. Зрозуміло, що під час пояснення зв'язків учитель формулює правило, але не вимагає його заучувати. Зв'язки між компонентами і результатами дій широко використовуються для перевірки правильності обчислень.

Розгляньмо одну з вправ з точки зору її узагальнювальної ролі. Закінчіть обчислення:

6-3=18 7 • 4 = 28 5 • 7 = 35 6 • 5 = 30

18:6 = 3 28:7 = 4 35:5 = * 30:5 = *

Учитель з'ясовує, що отримаємо, коли добуток поділимо на один з множників, і робить узагальнення: "Якщо а ■ Ь - с, то чому дорівнює частка с : а? Частка с : ЬТ.

Вправа дає змогу учню самостійно сформулювати правило: частка від ділення добутку двох чисел на один з множників дорівнює іншому множнику. Такий підхід має певні переваги над заучуванням правила за підручником.

Використання букв для запису властивостей арифметичних дій запроваджу­ється в процесі вивчення дій у концентрі "Багатоцифрові числа". У більш систематизованому вигляді з цією метою буквена символіка подана в матеріалах для повторення у кінці року. В обох випадках буквені записи подаються після словесного формулювання властивостей. Це означає, що буквені записи виступають не як вищий рівень узагальнення, а як лаконічний

РоздіпХШ. Пропедевтика алгебри в початкових класах

засіб унаочнення властивостей. У підручнику в буквеному записі подано такі властивості:

а + Ь = Ь + а — переставний закон додавання;

а + Ь + с = а + (Ь + с) — сполучний закон додавання;

а - (Ь + с), (а - Ь) - с — записи про властивість різниці, пов'язаної з різними способами обчислення зазначених виразів;

а ■ Ь = Ь ■ а — переставний закон множення;

а ■ Ь ■ с = а ■ (Ь ■ с) — сполучний закон множення;

(а+Ь + с)-к=а-к+Ь-к+с-к — розподільний закон множення відносно додавання;

с • (а - Ь) = с ■ а - с ■ Ь — розподільний закон множення відносно віднімання.

З основними властивостями арифметичних дій у практичному плані учні мають справу неодноразово, тому їх буквене узагальнення не викликає ускладнень. Проте слід мати на увазі, що в кінці навчального року матеріал подається в довідково-описовому вигляді. Це матеріал для побудови вчителем зв'язної розповіді. Його не варто пропонувати учням для заучування.