ПИД-регулятор. Непрерывное и дискретное описание.

Наибольшее практическое распространение получили ПИД – регуляторы (Proportional-Integral-Derivative). На его выходе формируется сигнал, определяемый тремя составляющими. Первая – пропорциональна ошибке выходной величины, вторая – обеспечивает интегральную зависимость от входного сигнала, третья – корректирует выходной сигнал в зависимости от скорости изменения задающего воздействия.

Классический ПИД-регулятор описывается следующим уравнением

(1.32)

где u₀ – начальное значение выхода регулятора (уставка), e(t) – ошибка выхода регулятора, K – коэффициент усиления регулятора, T_i – постоянная времени интегрирования, T_d – постоянная времени дифференцирования.

При реализации ПИД-регулятора на аналоговых микросхемах, изменения его параметров K, T_d, T_i производятся соответствующими подстроечными резисторами. Однако, изменение одного из них приводит к некоторому изменению настроек других – имеется взаимовлияние, обусловленное схемотехникой построения регулятора. При цифровом (программном) выполнению регулятора эти проблемы отсутствуют.

Существует два типа алгоритма регулятора ‑ позиционный и алгоритм приращений. В позиционном алгоритме (position form) выходной сигнал представляет собой абсолютное значение управляющей переменной исполнительного механизма. Дискретный ПИД-регулятор имеет вид

u(k∙h) =u₀ + u_p(k∙h) + u_i(k∙h) + u_d(k∙h) (1.33)

Даже при нулевой ошибке управления выходной сигнал отличен от нуля и определяется смещением u₀. В соответствии с уравнением (1.32) пропорциональная часть регулятора имеет вид

u_p(k∙h)=K∙e(k∙h) (1.34)

Интеграл аппроксимируется конечными разностями

(1.35)

с постоянной (1.36)

величина второго слагаемого в уравнении (1.35) при малых h и больших T_i может стать очень малой, поэтому при алгоритмической реализации нужно позаботиться о том, чтобы обеспечить необходимую точность его машинного представления. Дифференциальная часть ПИД-регулятора

(1.37)

где 0<β<1.

Альтернативным подходом является алгоритм ПИД-регулятора, в котором вычисляется лишь изменение его выходного сигнала. Алгоритм приращений (incremental form) ПИД-регулятора удобно применять, если исполнительный механизм представляет собой разновидность интегратора, например шаговый двигатель, либо устройство сохраняющее свое состояние до следующего управления. В алгоритме приращений рассматриваются только изменения управляющего выходного сигнала от момента времени (k-l)·h до момента k∙h. Алгоритм регулятора записывается в виде

Δu(k·h)=Δu_p(k∙h)+Δu_i(k·h)+Δu_d(k·h) (1.38)

Пропорциональная часть алгоритма приращений

Δu_p(k∙h)=u_p(k∙h)-u_p[(k-1)·h]=K∙[e(k∙h)-e[(k-1)∙h]=K∙Δe(k∙h) (1.39)

интегральная часть

Δu_i(k∙h)=u_i(k∙h)-u_i[(k-1)·h]=K∙α∙e(k∙h) (1.40)

дифференциальная часть регулятора

(1.41)

где

С вычислительной точки зрения алгоритм несложен. Для его применения, как правило, достаточно операций с плавающей точкой одинарной точности. В алгоритме не возникает проблем из-за насыщения регулятора. Небольшим недостатком алгоритма приращений является необходимость учитывать интегральную составляющую. Опорное значение сокращается как в пропорциональной, так и дифференциальной частях, начиная со второй выборки после его изменения. Поэтому, если используется регулятор на базе алгоритма приращений без интегральной составляющей, возможен дрейф управляемого процесса от опорного значения.