Непрерывный случай. Когда имеется 2 критерия и задана допустимая область изменения этих критериев, оба критерия хотим максимизировать.

Для сложных конфигураций границ применяется метод поиска Парето – оптимальных точек (областей) с помощью конусов.[конус – часть телесного угла, ограниченная лучами, соответствующими направлениям оптимизациям частных критериев]

Вершина конуса помещается во все точки границы, точка является Парето оптимальной если при помещении вершины конуса на эту точку весь конус находится вне допустимой области критерия.

Для минимизации конус направлен в другую сторону.

Образующие конусы ортогональны (90º) если критерии не зависимы друг от друга.

Дискретный случай.Когда оба критерия хотим минимизировать. Необходимо найти точки которые никакими другими не доминируются.

1) Фиксируются самые левые точки множества альтернатив, если их несколько, то из них выбирается нижняя;

2) Через эту точку проводятся горизонталь и вертикаль;

3) Фиксируются самые нижние точки, если их несколько, то выбирается самая левая из них;

4) Через эту точку проводятся горизонталь и вертикаль;

5) Все точки, лежащие на границе получившегося прямоугольника принадлежат множеству Парето;

6) Все точки лежащие вне получившегося прямоугольника отбрасываются;

7) К внутренним точкам прямоугольника применяется этот же алгоритм с первого шага.

Количественная оценка эффективности решений: функция полезности.

Общий подход к оценке эффективности решений – это выбор такого решения, которое приведет к исходу или исходам, имеющим наилучшую полезность.

Предметом ТПР является закономерности переработки инф-ии по состоянию системы в командную инф-ию (управление или решение). При этом формальная часть ТПР является исследованием операции, и цетральным понятием исследованя опрации является – операция.

Операция – это этап функционирования системы, связанный с определением достижения определенной цели.

+картинка

Xi – возможные решения, Ri – результаты операции. ПИОi – показатели исхода операции (определяет ЛПР). Нужно выбрать решение, которое приведет к исходу с наибольшей полезностью.

Решения, удовлетворяющие имеющимся ресурсам и ограичениям, называются допустимыми. Соответственно из них необходимо выбрать наилучшее решение.

[Последовательность решений, необходимых для выполнения операций, называютсястратегией:

Стратj={Реш1, Реш4, Реш2,…}

Стартегии делятся на жесткие (все решения принимаются до начала операции) и гибкие (последующее решение выбирается на основе анализа последствий пардыдущего решения).]

Результаты операции называются исходами. Исход операции – это ситуация, сложившаяся или прогнозируемая на момент завершения операций. Оценка исходов производится с помощью показателя исхода операции, который может включать один или несколько параметров операции.

Не существует универсальной меры ни полезности, ни эффективности – все субъективно. Эксперт – оценивает полезность исходов, а ПИО оценивает субъективную полезность.

ПИО должен отражать: 1) полезные результаты операции; 2) затраты ресурсов на получение результатов; 3) нежелательные результаты операции.

Существует три категории операций, в которых применяется ПИО:

1 – определенные операции. В детерминированных операциях неопределенных параметров нет. Основное свойство – каждому решению соответствует только один исход.

для любого xi€X=> rj→R

2 – случайные операции (вероятностные или стохастические). В вероятностных операциях любому решению соответствует несколько исходов, причем заданы вероятности появления этих исходов

[для любого xi€X=> Ri содержится в R

P (ri €Ri) = P (ri/x) =W(x, f(y)) – условная вер-ть]

xi→r1(p1);r3(p3)

В этих операциях критерии качества вероятностны, т.е. они описывают результаты операции только в среднем, с учетом полных вероятностей (условные вероятности заданы).

Принципиальная разница с предыдущим – выбираем такое решение, при кот. мат.ожидание будет наилучшим.

3 – неопределенные операции. Неопределенные операции – это когда любому возможному решению соответствует некоторое множество исходов, но вероятности этих исходов не известны.

для любого xi€X=> Ri содержится в R

В зависимости от тяжести возможных последствий в решении либо применен метод гарантированного результата (игровые методы, минимаксные), либо сводят задачу к вероятностной путем задания субъективных плотностей распределения исходов (в том случае, если нет опасности ошибки).

Универсальные меры полезности, обладающие физическим смыслом, не существует, особенно при неравномерных шкалах, поэтому используются субъективные оценки ЛПР.

Сущность функции полезности. Первая часть работы – определение полезности исходов. Для этого ЛПР расставляет показатели исходов операции (оценки).

Шкалу для расстановки ПИО выбирает ЛПР, это м.б. ранговые или количественные шкалы. ПИО характеризует предпочтительность одного исхода операции по сравнению с другим.

ri>rj=>ПИОi>ПИОj - прямая шкала

ri>rj=>ПИОi<ПИОj – обратная шкала

ri≈rj=>ПИОi=ПИОj

Можно подобрать функцию f(ri) при которой для любых i:

f(ri) = ПИОi

Такая функция называется функцией полезности и отражает только относительную полезность исходов (если f(ri) – ф-ия полезности, то и ф-ия φ(ri) – тоже ф-ия полезности):

φ(ri) = a* f(ri)+b , a > 0 (обязательно).

Можно подобрать (всегда) такие a и b, чтобы φ(ri)€[0,1].

Если даны значения f(r1)=1, f(r2)=2 не значит, что f(r1) в 2 раза (или на 1) хуже, чем f(r2).

Функции полезности могут быть непрерывными и дискретными, скалярными и векторными (применяются те же методы, что и при решении многокритериальных задач).