Кинематические условия на подвижной границе раздела при взаимном вытеснении жидкостей

Основная трудность точного решения задачи о движении границы раздела двух жидкостей в пористой среде заключается в том, что линии тока на границе раздела жидкостей преломляются.

Рис. 1.1.1. Преломление линии тока на границе раздела жидкостей

Пусть кривая I-I (рис.1.1.1) является границей раздела двух жидкостей с вязкостями μ₁ и μ₂ , и пусть например μ₂ > μ₁ (нефть вытесняется водой). Рассмотрим произвольную точку М границы I-I и проведем через нее касательную t и нормаль n к границе раздела жидкостей I-I.

Найдем проекции скоростей фильтрации воды и нефти, находящиеся в данный момент в точке М, на касательную и нормаль считая проницаемость пористой среды к постоянной по обе стороны границе раздела.

Согласно условию неразрывности потока массы элементарные расходы обеих несжимаемых жидкостей через элемент границы раздела, включающий точку М, должны быть равны между собой. Отсюда следует, что нормальные составляющие скоростей фильтрации обеих жидкостей будут равны, т.е. w_1n=w_2n. Давление в пласте в точке М также должно быть одинаково для обеих жидкостей, так как при малых скоростях (ниже звуковых) разрыва давления в сплошном потоке быть не может.

Касательные составляющие скоростей фильтрации обеих жидкостей будут определятся по закону Дарси:

; (1.1.1)

, (1.1.2)

где:

, - скорости фильтрации воды и нефти соответственно, м/с;

k- проницаемость пласта, мкм²;

и - динамическая вязкость воды и нефти соответственно, Па^.с;

- градиент давления, Па/м.

Так как > , то из (1.1.1) и (1.1.2) получаем, что > . Отсюда следует, что результирующий вектор скорости фильтрации , касательный к линии тока АМ, будет больше вектора , касательного к линии тока нефти МВ. Следовательно, линии тока АМ и МВ, проходящие через точку М, будут иметь излом в точке М. Учет этого преломления линии тока на границе раздела жидкостей и составляет главную трудность в точном решении задачи продвижении границы раздела.

Линии тока не будут преломляться в двух случаях при прямолинейно- параллельном и плоскорадиальном движениях раздела, когда . Эти задачи, прежде всего и будут рассмотрены в данной главе. При этом жидкости (нефть и вода) считаются несжимаемы, взаимно не растворимыми и химически не реагирующими между собой и с пористой средой. Вытеснение нефти водой предполагается, происходящим полностью, так называемое поршневое вытеснение.