Основные свойства ортогонального проецирования

1. Проекция точки есть точка (рис. 1.9).

Рис. 1.9

2. Проекция прямой в общем случае есть прямая (рис. 1.10).

Если прямая располагается перпендикулярно какой-либо плоскости проекций (такая прямая называется проецирующей), то на эту плоскость она проецируется в виде точки (рис. 1.10).

3. Если точка лежит на прямой, то ее проекция располагается на соответствующей проекции этой же прямой А m А_p m_p (рис. 1.11).

Рис. 1.10	Рис. 1.11

Примечание. Первые 3 свойства проекций являются общими для центрального и параллельного проецирования.

4. Если точка делит отрезок прямой в каком-либо отношении, то ее проекция делит проекцию отрезка в том же самом отношении (рис. 1.12).

Рис. 1.12

5. Если прямая параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость эта прямая проецируется без искажений (рис.1.13).

m II m_p = m, m II p [ А_p В_p ] = [ AB ].

Если плоская фигура параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется без искажения.

6. Если прямые в пространстве пересекаются, то их проекции также пересекаются (рис. 1.14).

m n = C m_p п_p с_p

Рис. 1.13	Рис. 1.14

7. Если прямые в пространстве параллельны, то их проекции также параллельны (рис. 1.15).

a II b а_p II b_p

Примечание. Общими для косоугольного и прямоугольного проецирования являются свойства 4, 5, 6.

8. Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажений (рис. 1.16).

ABC = 90° ; AB|| p ; BC|| p ; А_p В_p С_p = 90° ;

ABD = 90° ; AB|| p ; BD p ; А_p В_p D_p = 90° .

Рис. 1.15	Рис. 1.16

Примечание. Свойство 8-е только для ортогонального проецирования.

9. Параллельный перенос фигуры в пространстве или плоскости проекций не изменяет вида и размеров проекции фигуры.

5.Эпюра Монжа или комплексный чертеж - это чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры.

Пользоваться пространственным макетом для отображения ортогональных проекций геометрических фигур неудобно ввиду его громоздкости, а также из-за того, что при его переносе на лист бумаги, на плоскостях H и W происходит искажение формы и размеров проецируемой фигуры.
Поэтому вместо изображения на чертеже пространственного макета используется эпюра Монжа.

Эпюра Монжа получается преобразованием пространственного макета путем совмещения плоскостей H и W с фронтальной плоскостью проекций V:
- для совмещения плоскости H с V поворачиваем ее на 90 градусов вокруг оси x в направлении движения часовой стрелки. На рисунке, для наглядности, плоскость H повернута на угол чуть меньший 90 градусов, при этом ось y, принадлежащая горизонтальной плоскости проекции, после поворота совпадает с осью z;
- после совмещения горизонтальной плоскости, поворачиваем вокруг оси z также на угол 90 градусов профильную плоскость в направлении противоположном движению часовой стрелки. При этом ось y, принадлежащая профильной плоскости проекции, после поворота совпадает с осью x.

Эпюра Монжа

После преобразования пространственный макет примет вид, показанный на рисунке. На этом рисунке указана также последовательность взаимного положения пол плоскостей проекций, так запись V[H(W)] указывает, что в этой части эпюра Монжа (ограниченного положительным направлением осей x и z) ближе к нам находится верхняя левая пола фронтальной плоскости проекции V, за ней располагается задняя левая пола горизонтальной плоскости проекции H, далее следует верхняя задняя пола профильной плоскости W.

Так как плоскости не имеют границ, то в совмещенном положении (на эпюре) эти границы не показывают, нет необходимости оставлять надписи, указывающие положение пол плоскостей проекций. Излишне также напоминать, где отрицательное направление координатных осей. Тогда, в окончательном виде эпюра Монжа, заменяющая чертеж пространственного макета примет вид, показанный на рисунке.

Эпюра Монжа может быть выполнена с помощью:
- обычных чертежных инструментов и приспособлений:

- Программы для построения (рисования) эпюра Монжа: .

В качестве примера оформления эпюра Монжа предлагаем решение задачи на