Обозначим буквой а выигрыш игрока А, а буквой Ь - выигрыш игрока В в игре с нулевой суммой.

Так как а = — Ь, то при анализе такой игры нет необходимости рассматривать оба эти числа, достаточно рассматривать выигрыш одного из игроков. Пусть это будет игрок А. Условимся в дальнейшем называть «мы» сторону А, а «противник» - сторону В.

Развитие игры во времени будем представлять состоящим из ряда последовательных этапов (или ходов). Ходом в теории игр называют выбор одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление. Ходы бывают личные и случайные. Личным ходом называется сознательный выбор троком одного из возможных вариантов действий и его осуществлен и е.

Случайным ходом называют выбор из ряда возможностей, осуществляемый не игроком, а каким-либо механизмом случайного выбора (например, бросанием монеты и др.). Для каждого случайного хода правила игры определяют распределение вероятностей возможных исходов.

Теория игр занимается анализом только тех игр, которые содержат личные ходы. Такие игры строятся на основании стратегий игрока. Стратегией игрока называют совокупность правил, определяющих выбор варианта действии при каждом личном ходе этого игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в ходе игры. В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на конечные и бесконечные.

Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется только конечное число стратегий, и бесконечной, если хотя бы у одного из игроков имеется бесконечное число стратегий.

Оптимальной стратегией игрока называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимачьно возможный средний выигрыш (или минимал ьно возможный средний проигрыш). При выборе оптимальной стратегии основой рассуждений является предположение, что противник по меньшей мере так же разумен, как и мы сами, и делает все для тот, чтобы помешать нам добиться своей цели.

В теории игр не учитываются неизбежные в каждой конфликтной ситуации:

Просчеты и ошибки игроков,

Риск и азарт.

Кроме того, важнейшим из ограничений математической теории игр является то, что выигрыш искусственно сводится к одному —единственному числу (реально - это некоторый набор параметров эффекта: завоевание большей доли рынка, рост престижа марки и т.д.). Стратегия, оптимальная по одному показателю, необязательно будет оптимальной по другим.

Модель игры

Обычно рассматривают конечную игру, в которой игрок Л имеет т стратегий, а игрок В- и стратегий. Такая игра называется т х п. Стратегии соответственно обозначим следующим образом. А1,А2,.... Ат — для игрока А; 51, #2,В - для игрока В. Если игра состоит только из личных ходов, то выбор стратегий Л, и В игроками однозначно определяет исход игры - наш выигрыш а.. Известные я., для всех сочетаний стратегий образуют платежную матрицу размером тхп, где т -число строк матрицы, п - число столбцов.

Если игра содержит наряду с личными и случайные ходы, то выигрыш при паре стратегий А1 и Я. есть величина случайная, зависящая от исходов всех случайных ходов. Здесь естественной оценкой возможного выигрыша является математическое ожидание случайного выигрыша.