Теоретичні відомості. Диференціальне рівняння в частинних похідних другого порядку з двома незалежними змінними в загальному випадку має вигляд

Диференціальне рівняння в частинних похідних другого порядку з двома незалежними змінними в загальному випадку має вигляд

де – незалежні змінні, – шукана функція, – частинні похідні.

Рівняння першого степеня щодо шуканої функції і всіх її похідних, яке не містить їх добутків, називають лінійним. Таке рівняння можна записати у вигляді

де коефіцієнти можуть залежати лише від х та у.

Якщо коефіцієнти не залежать від х та у, то таке рівняння називають лінійним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтами.

Для повного опису фізичного процесу потрібно крім самого рівняння з частинними похід­ними задати початковий стан процесу (початкові умови) і режим на границі області (граничні умови). Початкові та граничні умови дають змогу визначити єдиний розв’язок диферен­ціального рівняння.

Розрізняють три типи лінійних диференціальних рівнянь:

· еліптичного типу ( );

· параболічного типу (( );

· гіперболічного типу (( ).

Відшукання розв’язку лінійного диференціального рівняння в частинних похідних методом сіток можна поділити на декілька етапів:

· дискретизація області (побудова сітки);

· дискретизація рівняння (заміна частинних похідних їх скінченними різницями);

· дискретизація граничних і початкових умов;

· визначення значення функції у вузлах сітки.