Хвильове рівняння

Розглянемо рівняння гіперболічного типу

яке задовольняє початкові умови

,

та граничні умови

,

, де

Класичним прикладом такої задачі є задача коливання струни довжиною , з рухомими кінцями, для якої відомий її стан в початковий момент часу .

Зауваження. Якщо зробити заміну то отримаємо рівняння

яке і розглядатимемо далі.

Виберемо крок по та по і побудуємо сітку Дискретизуємо початкові та граничні умови. Отримаємо

, ,

, .

Замінимо в заданому рівнянні частинні похідні скінченними різницями. Отримаємо рівняння

Звідси

Побудовану схему називають явною скінчено-різницевою схемою.

Зауваження. Для того, щоб різницева схема була стійка та збігалась до розв’язку необхідно, щоб для вибраних кроків виконувались нерівності

Якщо вибрати кроки так, щоб , то будемо мати

Приклад 3. Методом сіток розв’язати рівняння

,

Розв’язання. Виберемо рівні кроки .

Тоді скінченно-різницеве рівняння буде мати вигляд

Порахуємо значення функції в граничних вузлах.

З початкової умови будемо мати (значення першого рядка таблиці)

Дискретизуємо другу початкову умову:

З останньої формули будемо мати (значення першого рядка таблиці)

З граничної умови отримаємо (значення першого стовпця таблиці)

, , , , ;

a з граничної умови будемо мати (значення останнього стовпця таблиці)

, ,

Обчислимо значення функції у внутрішніх вузлах. Значення третього рядка таблиці:

Обчислимо значення четвертого рядка таблиці

Аналогічно обчислюємо значення в наступних рядках.

Результати обчислень значення функції занесемо в таблицю:

	i
j	xi tj	0,00	0,25	0,50	0,75	1,0
	0,00	0,00	0,25	0,50	0,75	1,00
	0, 25	0,25	0,00	0,75	0,50	1,25
	0,50	0,50		0,00		1,50
	0,75	0,75	0,50	1,25	1,00	1,75
	1,00	1, 00	1,25	1,50	1,75	2,00