Задача теплопровідності

Розглянемо рівняння параболічного типу

яке задовольняє початкову умову

та граничні умови

,

, де

Класичним прикладом такої задачі є задача теплопровідності або дифузії.

Зауваження. Якщо зробити заміну то отримаємо рівняння

яке і розглядатимемо далі.

Побудуємо сітку та дискретизуємо початкову та граничні умови. Отримаємо

, , .

Якщо для дискретизації рівняння скористатись правими різницями, то отримаємо скінченно-різницеве рівняння

Тоді

Побудовану схему називають явною скінчено-різницевою схемою.

Зауваження. Для того, щоб явна скінченно-різницева схема була стійка та збігалась до розв’язку необхідно, щоб для вибраних кроків виконувались нерівності

Якщо для дискретизації рівняння скористатись лівими різницями, то отримаємо скінченно-різницеве рівняння

Тоді

Таку схему називають неявною скінчено-різницевою схемою.

Якщо вибрати кроки так, щоб , то у випадку явної схеми будемо мати

а у випадку неявної –

Якщо для явної схеми вибрати , то отримаємо

Приклад 2. Розв’язати рівняння методом сіток

,

Розв’язання. Виберемо крок по осі х і нехай

Отже,

Тоді скінченно-різницеве рівняння буде мати вигляд

Порахуємо значення функції в граничних вузлах.

З початкової умови будемо мати

З граничної умови отримаємо

, , , , ;

a з граничної умови будемо мати

, ,

Обчислимо внутрішні значення

Результати обчислень значення функції занесемо в таблицю:

	i
j	xi tj	0,0	0,5	1,0	1,5	2,0
	0,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000
	0,125	1,125	1,000	1,000	1,000	1,125
	0,250	1,250		1,000		1,250
	0,375	1,375	1,125	1,063	1,125	1,375
	0,500	1,500	1,219	1,125	1,219	1,500

Розв’язана гранична задача описує розподіл температури в однорідному стержні довжиною 2, а отримані результати - характер охолодження стержня з бігом часу.