Теоретичні відомості та методичні рекомендації

Інтерполяційний многочлен Лагранжа. Для таблично заданої функції (табл.1)

Таблиця 1
			. . .
			. . .

інтерполяційний многочлен Лагранжа має вигляд

.

Використовуючи позначення , формулі Лагранжа можна надати більш стислого вигляду

,

де .

Оцінка похибки інтерполювання виконується за формулою .

Приклад 1. Побудувати інтерполяційний многочлен Лагранжа для функції, заданої табл. 2.

Таблиця 2

Розв’язання. Із табл. 2 випливає, що , , , , , . Маємо

.

Приклад 2. У таблиці 3 дано значення функції . Застосовуючи першу інтерполяційну формулу Ньютона, знайти .

Розв’язування. Будуємо скінчені різниці функції ; обмежимось третьою скінченою різницею. Як приймаємо число найближче до заданого, тобто покладаємо . Оскільки крок , то . Маємо

.

Таблиця 3
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6	0, 0540	-100 -85 -72 -59 -49 -49		-2 -3 -10

Для виконання завдання 3 за даною таблицею функції із рівновіддаленими значеннями аргументу складається таблиця скінчених різниць і визначається порядок інтерполяційного полінома Ньютона. У залежності від розташування ділянки субтабулювання відносно вихідної таблиці і потреби у скінчених різницях обирається перша

або друга

інтерполяційні формули Ньютона. Вихідні дані для виконання завдання 3 (номер таблиці функції, кінці відрізку і крок субтабулювання) беруться із таблиці 5. У програмі субтабулювання передбачити обчислення похибки методу за однією із формул:

, або

, .

Перед виконанням завдання корисно розглянути наступний приклад.

Дано п’ятизначну таблицю на відрізку із кроком . Потрібно зробити крок на відрізку .

За даною таблицею відразу складемо таблицю скінчених різниць (за зразком табл.3). Для скорочення записів скінчені різниці записують тільки значущими цифрами. Треба відмітити, що скінчені різниці другого порядку вже практично близькі до нуля у межах точності таблиці. Тому при використанні першої інтерполяційної формули Ньютона обмежимось трьома першими доданками: .

Якщо використовуємо першу формулу Ньютона, то у даному випадку природно прийняти . Значення для кожного значення знаходимо за формулою .

Отримані результати слід округлити до точності вихідної таблиці (треба відмітити, що обчислені похибки інтерполяції повністю забезпечують правильність п’яти знаків після коми у всіх отриманих значеннях функції).

Індивідуальні завдання.

Таблиця 4
Варіант
	-1			-3
				-1	-4
					-2
	-3	-1			-1
				-3	-7
	-2	-1
					-3
	-4	-2
	-1	1,5			-7
				-1	-6
	-9	-7	-4		-3
					-1
	-8	-5			-2
	-7	-5	-4		-4
				-2
					-2
	-4					-2
	-3	-1			-1
						-4
	-5	-2
					-7	-15
	-4	-2				-1
	-1
	-3				-3	-2
	-1				-2
	-2	-1		-8	-1	-5
	-2			-11	-3
	-1					-8
					-2	-10
				-2	-1
	-1				-1
	-2				-4
	-2
	-3	-1
	-1
	-2			-5	-3	-8
	-1
				-6	-7	-10
	-1
	-1
				-2
						-6
	-1			-7	-4	-3
	-3					-1
	-2				-2
					-1
	-1
				-1
	-2			-11		-5
	-1
	-2				-3	-8
Таблиця 5
Варіант	Завдання 2	Завдання 3
Таблиця		Таблиця
		2,8		1,75	2,00	0,05
		3,5		1,30	1,80	0,05
		0,5		1,45	1,55	0,01
		1,8		2,20	2,40	0,02
		0,8		2,0	2,4	0,02
		7,4		3,5	3,8	0,03
		0,4		0,32	0,42	0,01
		2,4		-0,7	-0,8	0,01
		3,0		0,1	0,3	0,03
		5,3		2,5	3,5	0,1
		-0,7		0,3	0,6	0,03
		2,2		0,15	0,35	0,025
		4,4		0,2	0,5	0,03
		2,5		2,45	2,65	0,02
		-0,3		3,0	3,5	0,02
		2,0		0,15	1,15	0,1
		2,5		2,3	2,5	0,02
		4,3		3,2	3,3	0,01
		-0,9		1,0	1,4	0,04
		2,0		0,5	0,75	0,025
		4,3		1,8	1,9	0,025
		3,5		0,25	0,40	0,01
		0,3		1,30	1,40	0,01
		0,8		2,20	2,40	0,02
		4,7		0,30	0,45	0,015
		1,0		-0,2		0,03
		0,1		0,7	1,0	0,03
		2,3		2,7	3,1	0,02
		-0,5		1,0	1,3	0,03
		1,4		2,7	3,1	0,02
		0,23		1,3	1,8	0,05
		3,3		0,28	0,38	0,01
		1,1		0,42	0,57	0,01
		1,3		3,5	4,0	0,005
		0,1		6,0	7,0	0,005
		5,8		0,5	0,65	0,03
		3,9		2,2	2,5	0,06
		0,49		1,7	2,3	0,05
		2,2		1,1	1,4	0,03
		7,0		2,9	3,4	0,02
		2,5		0,1	0,5	0,01
		1,3		2,35	2,55	0,02
		1,1		0,85	1,25	0,04
		0,5		0,42	0,72	0,03
		4,5		4,0	5,0	0,01
		4,4		2,5		0,5
		0,42		-0,5	0,5	0,1
		3,6		0,24	0,54	0,03
		0,7		1,35	1,85	0,05
		2,7		1,8	2,4	0,05
		2,47		-0,9	0,9	0,1
		0,44				0,3
		2,13		0,35	0,85	0,05
		0,28		2,2	2,9	0,1
		0,32		0,45		0,5
		-0,66		-0,5	0,5	0,1
		-0,42		2,5	3,3	0,1
		2,2				0,5
		0,93		0,18	0,28	0,05
		0,28		3,5	5,5	0,2

Таблиця 6	Таблиця 7	Таблиця 8	Таблиця 9
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55	0,99375 0,99500 0,99877 0,98007 0,96891 0,95534 0,93937 0,92106 0,90045 0,87758 0,85252	1,3 1,7 2,1 2,5 2,9 3,3 3,7 4,1 4,5 4,9 5,3	2,5731 3,7086 5,2084 7,0479 9,2172 11,7115 14,5285 17,6667 21,1254 24,9043 29,0030	1,2 1,9 2,6 3,3 4,0 4,7 5,4 6,1 6,8 7,5 8,2	0,3486 1,0537 1,4807 1,7844 2,0192 2,2103 2,3712 2,5101 2,6322 2,7411 2,8394	-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0	-0,7594 -0,6127 -0,4624 -0,3097 -0,1553 0,0000 0,1553 0,3097 0,4624 0,6127 0,7594

Таблиця 10	Таблиця 11	Таблиця 12
0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7	-0,3998 -0,0737 0,2952 0,7039 1,1476 1,6199 2,1133 2,6193	0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4	1,0000 0,9934 0,9735 0,9411 0,8967 0,8415 0,7767 0,7039	2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4	3,6267 4,4571 5,4662 6,6947 8,1919 10,0179 12,2459 14,9654

Контрольні запитання

1. Коли виникає потреба у побудові інтерполюючих функцій?

2. Що називається вузлом інтерполяції?

3. Поясніть поняття „інтерполююча функція”.

4. У чому полягає лінійне інтерполювання?

5. Як будується інтерполяційний многочлен Лагранжа?

6. Як оцінюються похибки лінійного інтерполювання та за формулою Лагранжа?

7. Складіть схему алгоритму обчислень значень функції за інтерполяційним многочленом Лагранжа.