Поверхность вращения и преобразование сжатия

Определение 2.Поверхность называют поверхно­стью вращения, если она образована окружностями с цен­трами на некоторой прямой (оси вра­щения), которые расположены в плоско­стях, перпендикулярных .

Уравнение поверхности вращения имеет наиболее простой вид, когда нача­ло О прямоугольной системы координат лежит на оси вращения, а ось совпа­дает с ней. Пересечение поверхности с координатной плоскостью — это некоторое множество , вра­щение которого образует

Предположим, что множество в плоскости описывается уравнением . Рассмотрим произвольную точку , Она удалена от оси на расстояние Если точка лежит на поверхности вращения то точки с той же аппликатой , что и , и абсциссами принадлежат множеству Поэтому

и условие сводится к тому, что координаты точки удовлетворяют равенству

Уравнение и есть уравнение поверхности Q, которая образова­на вращением подмножества , расположен­ного в координатной плоскости Из уравнения множества уравнение соответствующей поверхности вращения получается заменой на

Преобразование сжатия.Под преобразованием сжа­тия к координатной плоскости мы понимаем такое пре­образование, при котором точка смещается в точку Параметр называют коэффициентом сжатия. При " " точки пространства, расположенные на одной прямой, перпендикулярной плоскости , в результа­те такого преобразования сближаются, т.е. преобразование — действительно сжатие. При преобразование фактиче­ски является растяжением.

Пусть в пространстве в прямоугольной системе коорди­нат некоторое множество задано своим уравнением При преобразовании сжатия к координатной плоскости с коэффициен том это множество превратит­ся в новое множество с уравнением Это следует из того, что точка тогда и только тогда при­надлежит множеству , когда точка принадлежит множеству