Нахождение корней уравнения

Рассмотрим пример нахождения всех корней уравнения х³-0,01х²-0,7044х+0,139104=0

Отметим, что у полинома третьей степени имеется не более трех вещественных корней. Для нахождения корней их предварительно нужно локализовать. С этой целью необходимо построить график функции или ее протабулировать. Например, протабулируем наш полином на отрезке [-1; 1] с шагом 0,2.

1. Добавьте в рабочую книгу новый лист и назовите его «Подбор параметра»

1.1. Введите в ячейку А1 название х, а в ячейку В1 – название у.В ячейку А2 введите число -1 и заполните диапазон А2:А12 до числа 1 с шагом 0,2.

1.2. Протабулируем полином на отрезке [-1; 1]. Для этого введите в ячейку В2 следующую формулу: =А2^3-0.01*A2^2-0.7044*A2+0.139104 и с помощью маркера автозаполнения заполните диапазон В2:В12.

1.3. Постройте график функции, опираясь на полученные данные.

Из рис. видно, что полином меняет знак на интервалах [-1; -0,8], [0,2; 0,4] и [0,6; 0,8]. Это означает, что на каждом из них имеется корень данного полинома. Поскольку полином третьей степени имеет не более трех действительных корней, значит мы локализовали все его корни.

Найдем корни полинома методом последовательных приближений. В качестве начальных значений приближений к корням можно взять любые точки из отрезков локализации корней.

1.4. По правой кнопке мыши в области панели инструментов выбрать команду Настройка панели быстрого доступа, затем в левой части появившегося окна выбрать категорию Формулы, а справа в секции Параметры вычислений установить относительную погрешность и предельное число итераций, равными 0,00001 и 1000, соответственно.

1.5. В качестве начальных значений приближений к корням возьмем любые точки из отрезков локализации корней: -0,9, 0,3 и 0,7. Введите эти точки в диапазон С2:С4. А в С1 введите название «Приближение».

1.6. В ячейку D1 введите название «Значение функции», а в D2 введите следующую формулу: =С2^3-0,01*C2^2-0,7044*C2+0,139104

Выделите эту ячейку и с помощью маркера автозаполнения протащите введенную в нее формулу на диапазон D2:D4. Таким образом, в ячейках D2:D4 вычисляются значения полинома при значениях аргумента, введенного в ячейки С2:С4.

1.7. Перейдите на вкладку Данные в группе Работа с данными выберите команду Анализ условия, а затем выберите в списке пункт Подбор параметра. Появившееся диалоговое окно заполните следующим образом: в поле Установить в ячейке нужно указать ячейку, в которой необходимо подобрать конкретное значение, которое указывается в поле Значение, а в поле Изменяя значение ячейки - выбрать ячейку, где нужно подобрать значение.

1.8. В нашем случае это будет выглядеть таким образом: в поле Установить в ячейке введем D2, в поле Значение вводим 0, а в поле Изменяя значение ячейки введем С2.

Рис. Диалоговое окно Подбор параметра

В поле Установить в ячейке указывается ссылка на ячейку, в которую введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения. Для нахождения корня уравнения с помощью средства подбора параметров надо записать уравнение так, чтобы его правая часть не содержала переменную.

В поле Значение указывается правая часть уравнения.

В поле Изменяя значение ячейки указывается ссылка на ячейку, отведенную под переменную.

Вводить ссылки на ячейки в поля диалогового окна Подбор параметра удобнее не с клавиатуры, а щелчком на соответствующей ячейке. При этом Excel автоматически будет превращать их в абсолютные ссылки (в нашем примере $D$2 и $C$2).

После нажатия ОК средство подбора параметров находит приближенное значение корня, которое помещает в ячейку, которая была указана в поле Изменяя значение ячейки (в нашем случае это ячейка С2). В нашем примере оно равно -0,919999. Как выглядит диалоговое окно Результат подбора параметра после успешного завершения поиска решения, показано на рисунке.

Рис. Диалоговое окно Результат подбора параметра

1.9. После того, как средством подбора параметра будет подобрано решение, в диалоговом окне Результат подбора параметра нажмите ОК. В результате в ячейке будет подобрано приближенное значение корня, а в ячейке D2 будет установлено значение 0 (либо приближенное к 0).

1.10. Аналогично в ячейках С3 и С4 находим два оставшихся корня. Они равны 0,20999 и 0,71999.