Предел функции нескольких переменных

Предел и непрерывность функции

Предел функции нескольких переменных

Говорят, что последовательность точек с координатами стремится к точке сгущения некоторого множества , если

…, .

При этом расстояние между точками последовательности и точкой , когда неограниченно возрастает, стремится к нулю, т.е.

так как

= = .

Верно и обратное: если то последовательность точек стремится к точке .

Пусть функция определена в некоторой окрестности D точки , за исключением, быть может, самой точки .

По аналогии с определением предела функции одной переменной, говорят, что функция имеет пределом число при стремлении переменных , соответственно, к , если для каждого сколь угодно малого наперед заданного положительного числа (эпсилон) существует такое число , что

(2)

как только

, …, .

При этом точка предполагается взятой из D и отличной от . Итак, неравенство (2) для функции должно выполняться во всех точках множества D, лежащих в достаточно малой окрестности

точки , но исключая саму эту точку (если она принадлежит D). В этом случае обозначают предел функции так:

.

В геометрических терминах можно перефразировать данное определение следующим образом.

Говорят, что число является пределом функции при стремлении точки к точке (или – пределом функции в точке ), если для каждого сколь угодно малого наперед заданного положительного числа существует такое число , что

( )

как только расстояние между точками .

Как и выше, точка предполагается взятой из D и отличной от , а неравенство для функции должно выполняться во всех точках множества D, лежащих в достаточно малой сферической окрестности точки , за исключением самой этой точки.

Обозначение предела функции, соответствующее данному определению:

.

Два приведенных выше определения предела функции многих переменных являются равносильными.

Аналогично устанавливается понятие о бесконечном пределе функции: неравенство (2) заменяется на

, если , и

, если ,

где – произвольное наперед заданное сколь угодно большое положительное число.

Распространим понятие точки сгущения на тот случай, когда все координаты (или некоторые из них) этой точки бесконечны:

Точка является для области D точкой сгущения, если в этой области найдутся точки со сколь угодно большими (положительными) координатами.

Тогда говорят, что функция имеет пределом число при стремлении переменных к , если для каждого сколь угодно малого наперед заданного положительного числа существует такое число , что

как только

.

Обозначаем это следующим образом:

.

Условие, необходимое и достаточное для существования предела функции в точке формулирует следующая теорема.

Теорема. Если из множества D извлечь последовательность отличных от точек, сходящуюся к , то числовая последовательность , состоящая из соответствующих значений функции, всегда сходится к .