Повторные пределы

Наряду с рассмотренным пределом функции при одновременном стремлении всех ее аргументов к их пределам, определим несколько иной предел для функции многих переменных, который получается в результате ряда последовательных предельных переходовпо каждому ее аргументув том или ином порядке. Будем называть такой предел повторным, тогда как рассмотренный ранее — кратным (или двойным, тройным и т.д. – при , соответственно).

Для простоты ограничимся случаем функции двух переменных . Пусть область D изменения переменных и такова, что независимо от может принимать любое значение из некоторого множества , для которого служит точкой сгущения, но не принадлежит ему, а переменная , тоже независимо от , – любое значение из множества с не принадлежащей ему точкой сгущения . Тогда область D .

Если при любом фиксированном для функции (которая при фиксированном будет функцией одной переменной ) существует предел при , то он, этот предел, вообще говоря, будет зависеть от зафиксированного :

.

Если теперь существует предел функции при ,

,

то он и будет являться одним из повторных пределов функции .

Если предельные переходы произвести в другом порядке, то получим другой повторный предел этой же функции:

.

Вообще говоря, повторные пределы не обязательно равны между собой. Может случиться и так, что один из повторных пределов существует, а другой – нет.

Для иллюстрации этого рассмотрим несколько примеров. Пусть в области заданы функции:

1. и . Тогда

,

,

а ,

.

2. 3. .

Здесь в обоих случаях существует повторный предел , но нет повторного предела . А в последнем примере нет и простого предела . Проверьте!

Связь между двойными и повторными пределами устанавливает следующая теорема.

Теорема. Если

1. существует двойной предел (конечный или нет)

и

2. при любом существует конечный простой предел по

,

то существует повторный предел

и равен двойному:

= .

Если, наряду с условиями 1 и 2 теоремы, при любом существует конечный простой предел по

,

то существует и второй повторный предел, который тоже равен двойному, т.е.

,

тем самым мы определили условия, при которых оба повторных предела равны.

Из этой теоремы становится ясно, что в примерах 1 и 2 двойной предел не существует, а в примере 3 он существует и равен 0, откуда следует, что выполнение условия 1) теоремы не влечет за собой выполнения условия 2).

Замечание.Существование двойного предела не является необходимым условием для равенства повторных пределов.

Рассмотрим еще один пример. Функция определена на всей плоскости за исключением точки .

Возьмем две сходящиеся к последовательности точек из области :

и .

Построим две соответствующие последовательности значений функции:

и .

Очевидно, что эти последовательности «сходятся» к разным значениям. Отсюда следует, что у данной функции двойного предела в точке не существует.

Рассмотрим повторные пределы этой функции:

и .

, ,

, .

Мы видим, что оба повторных предела функции в точке существуют и оба равны 0, хотя двойного предела данная функция в данной точке не имеет.