![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Повторные пределыНаряду с рассмотренным пределом функции Для простоты ограничимся случаем функции двух переменных Если при любом фиксированном
Если теперь существует предел функции
то он и будет являться одним из повторных пределов функции Если предельные переходы произвести в другом порядке, то получим другой повторный предел этой же функции:
Вообще говоря, повторные пределы не обязательно равны между собой. Может случиться и так, что один из повторных пределов существует, а другой – нет. Для иллюстрации этого рассмотрим несколько примеров. Пусть в области 1.
а
2. Здесь в обоих случаях существует повторный предел Связь между двойными и повторными пределами устанавливает следующая теорема. Теорема. Если 1. существует двойной предел (конечный или нет)
2. при любом
то существует повторный предел и равен двойному:
Если, наряду с условиями 1 и 2 теоремы, при любом
то существует и второй повторный предел, который тоже равен двойному, т.е.
тем самым мы определили условия, при которых оба повторных предела равны. Из этой теоремы становится ясно, что в примерах 1 и 2 двойной предел не существует, а в примере 3 он существует и равен 0, откуда следует, что выполнение условия 1) теоремы не влечет за собой выполнения условия 2). Замечание.Существование двойного предела не является необходимым условием для равенства повторных пределов. Рассмотрим еще один пример. Функция Возьмем две сходящиеся к
Построим две соответствующие последовательности значений функции:
Очевидно, что эти последовательности «сходятся» к разным значениям. Отсюда следует, что у данной функции двойного предела в точке Рассмотрим повторные пределы этой функции:
Мы видим, что оба повторных предела функции в точке
|