Непрерывность

Пусть функция определена в некотором множестве D точек мерного пространства, и – точка сгущения этого множества, принадлежащая самому множеству, т.е. D.

Говорят, что функция непрерывна в точке , если имеет место равенство

, (3)

в противном случае говорят, что функция в данной точке терпит разрыв.

На языке «ε – δ» (эпсилон – дельта) определение непрерывности функции в точке будет звучать так: функция непрерывна в точке , если для каждого сколь угодно малого наперед заданного положительного числа найдется такое число , что

(4)

как только расстояние между точками будет удовлетворять неравенству

, или

, …, . (5)

При этом точка предполагается взятой из D и, в частности, может совпадать с точкой . По причине того, что предел функции в точке должен быть равен значению функции в этой точке, требование, чтобы не совпадала c становится лишним.

Рассматривая разности в (5) как приращения независимых переменных, а разность в (4) – как приращение функции, можно данное определение перефразировать следующим образом:

Функция непрерывна, если бесконечно малым приращениям независимых переменных соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если функция непрерывна в каждой точке множества D, то говорят, что она непрерывна в D.

Все основные теоремы о непрерывных функциях, приводимые для функций одной переменной, распространяются и на случай функций нескольких переменных.

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке функций есть непрерывная в этой точке функция, если, конечно, в случае частного, функция, стоящая в знаменателе, в точке не обращается в ноль.

Функцию будем называть элементарной функцией переменных, если она может быть получена из этих переменных и констант при помощи конечного числа алгебраических операций.

Как и в случае одной переменной, элементарные функции непрерывны внутри своих естественных областей определения. Суперпозиция (сложная функция) непрерывных функций является непрерывной функцией в своей области определения.

Примерами элементарных функций, непрерывных на всей плоскости, могут служить функции

,

.

Функция , являясь суперпозицией элементарных функций, тоже непрерывна на всей плоскости. А функция определена и непрерывна только в тех точках, в которых дробь неотрицательна, а знаменатель этой дроби не равен нулю.