Иррациональные числа I

1.5. Действительные числа R=I Q

Аксиоматическое построение.

R - множество чисел, удовлетворяющих ряду аксиом, касающихся действий сложения, умножения и др.

I. Аксиомы сложения.

1. - ассоциативность

2. Существование нейтрального элемента

1. Существование противоположного элемента

2. - коммутативность

II. Аксиомы умножения.

1. - ассоциативность

2. Существование нейтрального (единичного) элемента

3. Существование обратного элемента

4. - коммутативность

III. Связь сложения и умножения.

1. - дистрибутивность

IV. Аксиомы равенства.

1.

2.

3. - транзитивность

4.

5.

V. Аксиомы порядка.

1.

2.

VI. Аксиома непрерывности.

Для любых двух подмножеств действительных чисел, таких, что A лежит левее B, найдется число с, которое лежит между ними (с – разделяющее число).

с – разделяющее число.

Аксиомы I – V говорят о том, что R является упорядоченным полем.

Множество Q также удовлетворяет аксиомам I – V и является упорядоченным полем. Для Q аксиома VI не выполняется.

Пример: Q , Q - нет разделяющего числа, т.к. Q.

Из аксиом следуют свойства числовых неравенств:

1. - транзитивность

2.

3. только одно соотношение верно:

4.

5.

6.

7.