КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Модуль действительного числа ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 Свойства модуля. 1. 2. 3. 4. 5. Доказательство: По 1 свойству , , т.к. , то по свойству транзитивности , ч.т.д. 6. Модуль суммы не превосходит сумму модулей: Доказательство: , (1) , (2) из (1) и (2) , ч.т.д. 7. , N Доказательство (ММИ):
8. Доказательство: (по 6 свойству) (1) (по 6 свойству) (2) из (1) и (2) , ч.т.д. 1.7. Подмножества множества R. Промежуток. Множество P R называется промежутком, если для любых двух чисел, лежащих в P, число, лежащее между ними, также лежит в P. - отрезок - - интервал - - полуинтервал - - полуинтервал - - правый замкнутый луч - - правый открытый луч - - левый замкнутый луч - - левый открытый луч - Ограниченные и неограниченные множества. 1) Свойство ограниченности можно ввести в любом упорядоченном поле. A ограничено сверху в R, если (с – верхняя граница). Если множество ограничено сверху, то верхних границ может быть сколь угодно много. 2) A не ограничено сверху, если .
Пример: 3) Определение точной верхней границы Точная верхняя граница – наименьшая из всех верхних границ. 1. (т.е. - верхняя граница) 2. (т.е. - наименьшая верхняя граница) 4) A ограничено снизу, если (с –нижняя граница). 5) A не ограничено снизу, если 6) Определение точной нижней границы Точная нижняя граница – наибольшая из всех нижних границ. 1. (т.е. - нижняя граница) 2. (т.е. - наибольшая нижняя граница) 1.8. Свойства множества R. 1) Любое непустое ограниченное сверху подмножество R имеет точную верхнюю грань. Т.к. Пусть B – множество всех верхних границ: . Тогда по аксиоме непрерывности существует число, разделяющее эти множества: . - верхняя граница , ч.т.д. 2) Свойство Архимеда Натуральный ряд во множестве R не ограничен сверху. Существуют упорядоченные поля, в которых натуральный ряд ограничен сверху. Доказательство (метод от противного): Пусть натуральный ряд ограничен сверху в R, тогда по свойству 1: , значит и для . Получили противоречие, значит натуральный ряд не ограничен сверху во множестве R, ч.т.д. 3) Теорема о вложенных отрезках Пусть дана система вложенных друг в друга отрезков и не существует отрезка , который содержится в каждом из этих отрезков. Тогда существует единственная общая точка во всех этих отрезках. Доказательство: Рассмотрим множество A, состоящее из всех левых концов отрезков и множество B, состоящее из всех правых концов отрезков. . Пусть , тогда . Значит и по аксиоме непрерывности существует точка с из R N. Доказано, что существует такая точка. Покажем, что она одна (методом от противного). Пусть . Получили противоречие с условием, значит точка с единственная, ч.т.д. 4) Множество Q всюду плотно в множестве R. Q Доказательство: По свойству 2: (1) Рассмотрим , тогда A ограничено снизу, значит существует наименьший элемент , . Из (1) , . Т.о., , ч.т.д. 5) Множество I всюду плотно в множестве R.
|