Модуль действительного числа

Свойства модуля.

1.

2.

3.

4.

5.

Доказательство:

По 1 свойству , , т.к. , то по свойству транзитивности , ч.т.д.

6. Модуль суммы не превосходит сумму модулей:

Доказательство:

, (1)

, (2)

из (1) и (2) , ч.т.д.

7. , N

Доказательство (ММИ):

8.

Доказательство:

(по 6 свойству)

(1)

(по 6 свойству)

(2)

из (1) и (2) , ч.т.д.

1.7. Подмножества множества R.

Промежуток.

Множество P R называется промежутком, если для любых двух чисел, лежащих в P, число, лежащее между ними, также лежит в P.

- отрезок -

- интервал -

- полуинтервал -

- полуинтервал -

- правый замкнутый луч -

- правый открытый луч -

- левый замкнутый луч -

- левый открытый луч -

Ограниченные и неограниченные множества.

1) Свойство ограниченности можно ввести в любом упорядоченном поле.

A ограничено сверху в R, если (с – верхняя граница).

Если множество ограничено сверху, то верхних границ может быть сколь угодно много.

2) A не ограничено сверху, если .

Пример:

3) Определение точной верхней границы

Точная верхняя граница – наименьшая из всех верхних границ.

1. (т.е. - верхняя граница)

2. (т.е. - наименьшая верхняя граница)

4) A ограничено снизу, если (с –нижняя граница).

5) A не ограничено снизу, если

6) Определение точной нижней границы

Точная нижняя граница – наибольшая из всех нижних границ.

1. (т.е. - нижняя граница)

2. (т.е. - наибольшая нижняя граница)

1.8. Свойства множества R.

1) Любое непустое ограниченное сверху подмножество R имеет точную верхнюю грань.

Т.к.

Пусть B – множество всех верхних границ: .

Тогда по аксиоме непрерывности существует число, разделяющее эти множества: .

- верхняя граница

, ч.т.д.

2) Свойство Архимеда

Натуральный ряд во множестве R не ограничен сверху.

Существуют упорядоченные поля, в которых натуральный ряд ограничен сверху.

Доказательство (метод от противного):

Пусть натуральный ряд ограничен сверху в R, тогда по свойству 1:

, значит

и для

. Получили противоречие, значит натуральный ряд не ограничен сверху во множестве R, ч.т.д.

3) Теорема о вложенных отрезках

Пусть дана система вложенных друг в друга отрезков

и не существует отрезка , который содержится в каждом из этих отрезков. Тогда существует единственная общая точка во всех этих отрезках.

Доказательство:

Рассмотрим множество A, состоящее из всех левых концов отрезков и множество B, состоящее из всех правых концов отрезков.

. Пусть , тогда .

Значит и по аксиоме непрерывности существует точка с из R N.

Доказано, что существует такая точка. Покажем, что она одна (методом от противного).

Пусть . Получили противоречие с условием, значит точка с единственная, ч.т.д.

4) Множество Q всюду плотно в множестве R.

Q

Доказательство:

По свойству 2: (1)

Рассмотрим , тогда A ограничено снизу, значит существует наименьший элемент

, . Из (1) , .

Т.о., , ч.т.д.

5) Множество I всюду плотно в множестве R.