Колебательное затухающее звено, апериодическое звено 2-го по- рядка

Это такое звено, у которого при скачкообразном изменении х,выходная величинана – уизменится в колебательном режиме с постоянным периодом и с амплитудой затухающего колебания по экспоненте. Динамическая характери- стика имеет вид:

Т02*d2y/dt2+T*dy/dt+y=к*х. Это уравнение 2-го порядка, звено имеет 2 емкости – Т0 и Т. Для решения уравнения необходимо получить передаточную функцию и характерное уравнение для данного звена. Передаточная функция:

Т02*р02*у(р)+Т*р*у(р)+у(р)=к*х(р)

W(р)=у(р)/х(р)=к/(Т02*р2+Т*р+1). Характерное уравнение (когда знаме- натель=0): Т02*р2+Т*р+1=0.

Найдем корни: Р1,2=-Т/(2*Т02)± (Т2-4Т02/4*Т04). Данные корни могут

быть комплексно-сопряженные или действительно отрицательные. Если Т<2Т0, то корень дифференциала уравнения будет отрицательным и корни комплекс- но-сопряженные, т е: Р1,2=-α±j*ω. Коэффициент затухания α=Т/2Т02, ω= ( 4Т02/Т0/4Т04) – частота вынужденных колебаний выходной величины у. Решение будет иметь вид: у=у установится – с*е-αt*sin(ω*t+ψ), где с, ω – посто- янные интегрирования, которые определяются из начальных условий, т е: (dy/dt)t=0. Параметры: у установится = к*х, с=к*х*(ω0/ω), ω0=1/Т0 – частота свободных колебаний выходной переменной, ψ=arctg(ω/α). Подставив все по- лучим:

y=кх*[1 - ω0/ω*е-αt*sin(ω*t+arctg ω/α)]. График переходного процессса

(х=const):

Пример: двухъемкостные статические объекты, электродвигатели пере- менного тока (асинхронные).

Апериодическое звено 2-го порядка:Динамическая характеристика данного звена имеет вид:

Т02*d2y/dt2+T*dy/dt+y=к*х. Характеристическое уравнение данного звена: Т02*р2+Т*р+1=0. Соотношение постоянных времени имеет следующий вид: Т1>2Т0. Корни характеристического уравнения будут вещественными и отри-

цательными: Р1,2=-α±γ, α=-Т1/2Т0, γ= ((Т12-4Т02)/4Т04). И решение исход-

ного дифференциального уравнения имеет вид: у=к*х – с1*е-(α+γ) – с2*е-( α-γ), где с1,с2 – постоянная интегрирования. График переходного процесса им s-вид: