Пример 1.5. Для множеств X и У в примере 1.2 X Y— множество отличников группы, проживающих в общежитии.

Пример 1.6. Рассмотрим два круга, приведенных на рис. 1.2. Если X — множество точек левого круга, а У — множество точек правого круга, то X Y представляет собой заштрихованную область, являющуюся общей частью обоих кругов.

Рис. 1.2. Пересечение множеств.

Операция пересечения позволяет установить ряд соотношений между двумя множествами.

Если ХÇY=Ø, то говорят, что множества X и Y не пересекаются.

Множества X и У называются непересекающимися, если они не имеют общих элементов, т. е. если

X Y=Ø.

Пример 1.7. Непересекающимися множествами являются:

1) множества {1, 2, 3} и {4, 5, 6};

Множество отличников и множество неуспевающих студентов в группе;

Множества точек кругов X и У на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Непересекающиеся множества

Говорят, что множества X и У находятся в общем положении, если выполняются три условия:

· существует элемент множества X, не принадлежащий У;

· существует элемент множества У, не принадлежащий X;

· существует элемент, принадлежащий как X, так и У.

Понятие пересечения можно распространить и на большее, чем два, число множеств. Рассмотрим систему множеств ={X₁, ,Xn}. Пересечение этих множеств записывается в виде

и представляет собой множество, элементы которого принадлежат каждому из множеств системы .

Приведем основные свойства операции пересечений. Пусть X, Y, – произвольные множества.

1 Пересечение включено в каждоеиз пересекаемых множеств: ХÇYÌX, ХÇYÌY.

2. ZÌ ХÇY, тогда и только тогда, когда ZÌ Х и ZÌ Y.

3. Идемпотентность: ХÇX=X.

4. Коммутативность: ХÇY=YÇX.

5. Ассоциативность: ХÇ(YÇZ)=(ХÇY)ÇZ.

6. Х Ø=Ø.

Последнее соотношение аналогично соотношению а·0=0 в обычной алгебре. Пустое множество играет роль нуля в алгебре множеств.

Разность множеств

Данная операция в отличие от операций объединения и пересечения определяется только для двух множеств.

Определение. Разностью множеств X и У называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат X и не принадлежат У. Разность множеств X и У обозначается через Х\У (читается: "X минус Y"). Формальное определение

Х\У =