Пример 1.10.

Рис. 1.4. Разность множеств Х\У

Свойства операции разности:

1. A\Ø=A, Ø\A=Ø.

2. A\A= Ø.

3. X\YÌX.

4. (X\Y)ÈY=XÈY.

5. (X\Y)\Z=(X\Z)\Y.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество, которое состоит из элементов, принадлежащих только одному из данных множеств: либо А, либо В. Операция симметрической разности обозначается как А+В (либо А∆В).

Рис. 1.5. Симметрическая разность множеств А и В

Как видно из рис. 1.5 симметрическая разность состоит из элементов, не принадлежащих пересечению заданных множеств: А+В=(A\B) U (B\A).

Универсальное множество

Роль нуля в алгебре множеств играет пустое множество. Спрашивается, не существует ли множество U, которое будет играть роль единицы, т. е. удовлетворять условию

Х U = Х,

аналогичному условию а·1=а в обычной алгебре.

Пересечение или «общая часть» множества U и множества X для любого множества X совпадает с самим этим множеством. Но это возможно лишь в том случае, если множество U содержит все элементы, из которых может состоять множество X, так что любое множество X полностью содержится в множестве U. Множество U, удовлетворяющее этому условию, называется полным или универсальным.

В различных конкретных рассмотрениях роль универсального множества могут играть различные множества. Так, при рассмотрении множеств студентов в группе (отличники; студенты, получающие стипендию; студенты, проживающие в общежитии, и т. п.) роль универсального множества играет множество студентов в группе.

Универсальное множество удобно изображать графически в виде множества точек прямоугольника. Отдельные области внутри этого прямоугольника будут означать различные подмножества универсального множества. Изображение множеств а в виде областей в прямоугольнике, представляющем универсальное множество, называется диаграммой Эйлера — Венна.

Универсальное множество обладает свойством, которое не имеет аналогии в обычной алгебре, а именно, для любого множества X справедливо соотношение

X U = U

Действительно, объединение X U представляет собой множество, в которое входят как все элементы множества X, так и все элементы множества U. Но множество U уже включает в себя все элементы множества X, так что X U будет состоять из тех же элементов, что и U, т. е. представляет собой само универсальное множество U.