![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Пример 1.16. Пусть Х – множество точек отрезка [0, 1], а Y – множество точек отрезка [1, 2]. Тогда - множество точек квадрата с вершинами в точках (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1,2).
Операция прямого произведения легко распространяется и на большее число множеств. Прямым произведением множеств X1, Х2,..., Хr называется множество, обозначаемое X1×X2×…×Xr и состоящее из всех тех и только тех кортежей длины r, первая компонента которых принадлежит Х1, вторая Х2 и т. д. Число элементов декартового произведения r множеств равна произведению численностей всех множеств. Приведем теперь некоторые свойства, связывающие рассмотренные выше операции над множествами с операцией декартова произведения. Дистрибутивность прямого произведения относительно объединения: (XÈY) ´Z=(X´Z)È(Y´Z); X´ (YÈZ)=(X´Y)È(X´Z); дистрибутивность прямого произведения относительно пересечения: (ХÇY) ´Z=(X´Z)Ç(Y´Z); X´ (YÇZ)=(X´Y)Ç(X´Z); дистрибутивность прямого произведения относительно вычитания: (X\Y) ´Z=(X´Z)\(Y´Z); X\(Y\Z)=(X´Y)\(X´Z).
1.4. СООТВЕТСТВИЯ Определение соответствия Рассмотрим два множества X и У. Элементы этих двух множеств могут каким-либо образом сопоставляться друг с другом, образуя пары (х, у). Если способ такого сопоставления определен, т. е. для каждого элемента х Соответствием между двумя множествами является любое подмножество декартового произведения этих множеств. Соответствием между двумя множествами называется правило, по которому каждому элементу множества X выбирается (устанавливается, определяется) элемент из множества Y. При этом совершенно необязательно, чтобы в сопоставлении участвовали все элементы множеств X и У. Для того чтобы задать соответствие, необходимо указать: 1) множество X, элементы которого сопоставляются с элементами другого множества; 2) множество У, с элементами которого сопоставляются элементы первого множества; 3)множество Q Если (х, у) С каждым соответствием связаны еще два множества: первое множество, называемое областью определения соответствия, в которое входят элементы множества X, участвующие в сопоставлении, и второе множество, называемое областью значений соответствия, в которое входят элементы множества У, участвующие в сопоставлении. Соответствие задается всеми способами, которыми задается декартово произведение двух множеств. Если соответствие задается на координатной плоскости, то область определения соответствия указывается на оси абсцисс, множество значений – оси ординат. Если во всех парах, задающих соответствие Q, компоненты поменять местами, то получится соответствие Q-1, обратное данному соответствию. Примеры соответствий:
Композиция соответствий Пусть заданы три множества X, Y, Z и два соответствия Композицией соответствий Композиция Композицией соответствий называется последовательное применение двух соответствий. Композиция соответствий есть операция с тремя множествами X, У и Z, на которых определены два соответствия q = (X, Y, Q), Q р = (У, Z, Р), P причем область значений первого соответствия совпадает с областью определения второго соответствия: Первое соответствие определяет для любого x Естественно, что операцию композиции можно распространить и на большее, чем два, число соответствий. 1.5. ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ Отображения и их свойства С понятием соответствия непосредственно связано понятие отображения: всюду определенное соответствие называется отображением X в У, т.е. область определения соответствия равна множеству Х. Записывается как Г:Х→Y. Под словом «отображение» часто понимают однозначное отображение. В общем случае каждому элементу x Гx называемое образом элемента х. Закон, в соответствии с которым осуществляется соответствие, определяется множеством Г. Поскольку отображение является частным случаем соответствия, для отображения имеют место введенные при рассмотрении соответствий понятия обратного отображения и композиции отображений. Важным частным случаем отображения является случай, когда множества X и Y совпадают. При этом отображение Г: Х→Х будет представлять собой отображение множества X самого в себя и будет определяться парой (X, Г), где Г Функция Рассмотрим некоторое отображение f:X→Y. Это отображение называется функцией, если оно является однозначным, т. е. если для любых пар (х1, y1) Понятие функции является чрезвычайно широким, и изучению отдельных классов функций посвящены многие математические дисциплины (алгебра, тригонометрия и т. п.). Мы рассмотрим только некоторые общие наиболее фундаментальные свойства функции, не касаясь свойств конкретных классов функций. Пример 1.17. Из данного города в другой можно проехать по железной дороге, автобусом или самолетом. Стоимость билета будет соответственно 7, 9 и 12 тыс. руб. Стоимость билета в этом примере можно представить как функцию от вида транспорта. Для этого рассмотрим множества Х = {ж. д., авт., сам.}; К={7, 9, 12}. Функция f: X→Y, получаемая из условий примера, может быть записана в виде множества f={(ж. д., 7), (авт., 9), (сам., 12)}. Значение у в любой из пар (х, у) f = {(x, у) Таким образом, символ f используется при определении функции в двух смыслах: 1) f является множеством, элементами которого являются пары (х, у), участвующие в соответствии; 2) f(x) является обозначением для у Формальное определение функции позволяет установить способы задания функции. 1. Перечисление всех пар (х, у), составляющих множество f (пример 1.17). Такой способ задания функции применим, если X является конечным множеством. Для большей наглядности пары (x, y) удобно располагать в виде таблицы. 2. Во многих случаях как X, так и У представляют собой множества вещественных или комплексных чисел. В таких случаях очень часто под f(x) понимается формула, т. е. выражение, содержащее перечень математических операций (сложение, вычитание, деление, логарифмирование и т. п.), которые нужно произвести над x Пример 1.18. Пусть X=Y=R и f = {(x, у) Иногда для разных подмножеств множества X функции приходится пользоваться различными формулами. Пусть А1, , Ап — попарно непересекающиеся подмножества X. Обозначим через fi(x), i=1, ,n формулу, определяющую у при х Так, функцию y = f(x) = |x| можно задать в виде 3. Если X и У — множества вещественных чисел, то элементы (х, у) Если X=U×V, то приходим к функции от двух переменных и и v, обозначаемой через f(u, v), где и
Аналогично определяются функции от трех и большего числа переменных. Обратная функция Понятие обратной функции применимо для такого отображения f:X→Y, которое, во-первых, является однозначным, т. е. для любых (х1, у1) При аналитическом задании функции f принято аргумент как прямой, так и обратной функции обозначать одной и той же буквой, например х. Поэтому для нахождения обратной функции следует уравнение y=f(x) разрешить относительно х и поменять обозначения, заменив х на у и у на х. При этом обратная функция запишется в виде y=f-1(х). Функция времени В основе понятия функции времени лежит множество Т Функция времени определяет отображение f множества моментов времени Т на множество вещественных чисел R: f:T→R. Элементами f будут пары (t, х), обозначаемые также через x(t), где t Если T=R, т. е. t может принимать любое вещественное значение от — ∞ до +∞, то функция x(t) называется функцией с непрерывным временем. Примером может служить синусоидальная функция времени x(t) = Asin(wt+φ)), описывающая напряжение в сети переменного тока. Обычно не интересуют весьма удаленные моменты времени как в прошлом, так и в будущем. Поэтому производят сужение x(t) на ограниченный интервал t1< t ≤t2, который обычно считают полузакрытым интервалом и обозначают (t1, t2]. Полузакрытые интервалы времени удобны тем, что допускают последовательное сочленение друг с другом. Так, если интервал (t1, t2] разбить моментом t' на два интервала (t1, t'] и (t', t2], то не будет сомнений, к какому интервалу отнести t'. Сужение функции x(t), заданной на интервале —∞<t<∞, на интервал (t1, t2] называется отрезком функции x(t) и обозначается
Для осуществления операции сужения часто используют специальную функцию времени, называемую единичной функцией или единичным скачком: приведенную на рис. 1.9,а. Рис. 1.9. Единичный скачок и импульсная функция Так, напряжение, подаваемое на вход прибора, подключаемого к сети в момент t = λ, будет равно: u(t) = 1(t-λ)х(t) = 1(t-λ)Asin (wt+φ). Другой широко используемой функцией времени является импульсная функция δ(t-λ), определяемая соотношениями: Функцию δ(t-λ) можно рассматривать как предельный случай приведенного на рис. 1.9,б прямоугольного импульса шириной Δt и высотой 1/Δt, появляющегося в момент t=λ при Δt→0. Импульсная функция позволяет выделять мгновенные значения функции x(t) для фиксированных моментов времени. Так, если t1<λ<t2, то
Если множество Т представляет собой множество натуральных чисел ... , -2, -1, 0, 1, 2, …, п, ... , то говорят о функции с дискретным временем. В этом, случае элементы множества Т обозначают через п, так что пара (п,.х), обозначаемая также х[п] или хп, определяет значение функции в момент п. На рис. 1.10 приведен пример функции с дискретным временем. Рис. 1.10. Функция с дискретным временем Понятие функционала Говоря об отображении f:X→Y как о функции с вещественными значениями, мы не накладывали на характер элементов множества X каких-либо особых ограничений. В простейших задачах множество X, как и множество Y, представляет собой множество вещественных чисел. В этом случае каждая пара {х, у) Представим себе некоторую линию y=f(x), соединяющую фиксированные точки А и В, как показано на рис. 1.11, по которой скатывается свободно движущийся шарик. Рис. 1.11. Линия спуска. Обозначим через t время, которое шарик затратит на перемещение из точки А в точку В. Это время зависит от характера линии АВ, т. е. от вида функции f(х) Если обозначить через F(x)множество различных функций, изображающих линию АВ, а через Т множество вещественных чисел t, определяющих время движения шарика, то зависимость времени движения от вида функции может быть записана как отображение J:F(x)→T. Элементами множества J будут пары (f(x), t), в которых f(x) t = J[f(x)]. В задачах управления функционалы используются как критерии качества управления. Так, в рассмотренном примере время перемещения шарика из точки А в точку В можно трактовать как критерий «качества» выбранной функции f(x). При этом говорят об оптимальном управлении как о таком, при котором соответствующий критерий качества обращается в минимум. С этой точки зрения определение «оптимального» вида функции f(x) сводится к выполнению условия
при котором время t будет минимальным. Понятие оператора Оператором L называется отображение L:X→Y, в котором множества X и Y являются множествами функций с элементами x(t) и y(t), так что элементами множества L будут пары (x(t), y(t)). В этом случае говорят, что оператор L преобразует функцию x(t) в функцию y(t), и пишут: y{t) = L[x(t)]. Примером оператора служит оператор дифференцирования р, ставящий в соответствие функции f(х) другую функцию f'(x)=df(x)/dx, что может быть записано в виде f'(x) = p[f(x)]. В задачах управления роль оператора часто выполняет сама управляющая система, преобразующая по некоторому закону L входной сигнал x(t) в выходной сигнал y(t), как это показано на рис. 1.12. Рис. 1.12. Представление управляющей системы в виде оператора. 1.6. ОТНОШЕНИЯ Термин «отношение» используется для обозначения некоторых видов отображений, заданных на одном и том же множестве. Если Г – есть отношение и пара (x, y) принадлежит этому отношению, т.е. элемент y находится в отношении Г к элементу х, то вместо записи (x,y) Элементы х и у называются координатами (или компонентами) отношения Г. Пример 1.19. ПустьX — множество людей. Для каждого человека х Для отображения, заданного на одном множестве, отношение есть пара множеств (X, Г), в которой Г Можно ввести более общее понятие отношения, называя отношением пару множества (X, Г), где Г Примеры отношений 1. На множестве людей отношения:”Человек s знаком с человеком d”, “Быть выше по росту”, “Иметь один цвет глаз” и др. 2. На множестве натуральных чисел отношение “Число m больше числа n” 3. На множестве треугольников отношение “Треугольник r и треугольник l имеют равные углы (стороны)
|