Пример 1.16. Пусть Х – множество точек отрезка [0, 1], а Y – множество точек отрезка [1, 2]. Тогда - множество точек квадрата с вершинами в точках (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1,2).

Операция прямого произведения легко распространяется и на большее число множеств. Прямым произведением множеств X₁, Х₂,..., Х_r называется множество, обозначаемое X₁×X₂×…×X_r и состоящее из всех тех и только тех кортежей длины r, первая компонента которых принадлежит Х₁, вторая Х₂ и т. д. Число элементов декартового произведения r множеств равна произведению численностей всех множеств.

Приведем теперь некоторые свойства, связывающие рассмотренные выше операции над множествами с операцией декартова произведения. Дистрибутивность прямого произведения относительно объединения:

(XÈY) ´Z=(X´Z)È(Y´Z);

X´ (YÈZ)=(X´Y)È(X´Z);

дистрибутивность прямого произведения относительно пересечения:

(ХÇY) ´Z=(X´Z)Ç(Y´Z);

X´ (YÇZ)=(X´Y)Ç(X´Z);

дистрибутивность прямого произведения относительно вычитания:

(X\Y) ´Z=(X´Z)\(Y´Z);

X\(Y\Z)=(X´Y)\(X´Z).

1.4. СООТВЕТСТВИЯ

Определение соответствия

Рассмотрим два множества X и У. Элементы этих двух множеств могут каким-либо образом сопоставляться друг с другом, образуя пары (х, у). Если способ такого сопоставления определен, т. е. для каждого элемента х Х указан элемент у У, с которым сопоставляется элемент х, то говорят, что между множествами X и У установлено соответствие.

Соответствием между двумя множествами является любое подмножество декартового произведения этих множеств.

Соответствием между двумя множествами называется правило, по которому каждому элементу множества X выбирается (устанавливается, определяется) элемент из множества Y. При этом совершенно необязательно, чтобы в сопоставлении участвовали все элементы множеств X и У.

Для того чтобы задать соответствие, необходимо указать:

1) множество X, элементы которого сопоставляются с элементами другого множества;

2) множество У, с элементами которого сопоставляются элементы первого множества;

3)множество Q X×Y, определяющее закон, в соответствии с которым осуществляется соответствие, т. е. перечисляющее все пары (х,у), участвующие в сопоставлении.

Если (х, у) Q, то говорят, что элемент у соответствует элементу х. Геометрически это удобно изображать стрелкой, направленной от х к у.

С каждым соответствием связаны еще два множества: первое множество, называемое областью определения соответствия, в которое входят элементы множества X, участвующие в сопоставлении, и второе множество, называемое областью значений соответствия, в которое входят элементы множества У, участвующие в сопоставлении.

Соответствие задается всеми способами, которыми задается декартово произведение двух множеств. Если соответствие задается на координатной плоскости, то область определения соответствия указывается на оси абсцисс, множество значений – оси ординат.

Если во всех парах, задающих соответствие Q, компоненты поменять местами, то получится соответствие Q^-1, обратное данному соответствию.

Примеры соответствий:

1. График дежурства учащихся на неделю (месяц). Область определения – список учащихся. Множество значений – день недели (месяца) дежурства.
2. Таблица квадратов (кубов) натуральных чисел. Область определения – натуральные числа. Множество значений – их квадраты (кубы)
3. Формула y=x² +3x-7 задает соответствие между множеством действительных чисел (ось OX) – область определения и множеством действительных чисел, являющиеся значениями этой формулы (ось OY).

Композиция соответствий

Пусть заданы три множества X, Y, Z и два соответствия и .

Композицией соответствий и называется подмножество прямого произведения X×Z:

Композиция Ø, если пересечение Ø, где - область определения соответствия G₂, - область значение соответствия G₁.

Композицией соответствий называется последовательное применение двух соответствий.

Композиция соответствий есть операция с тремя множествами X, У и Z, на которых определены два соответствия

q = (X, Y, Q), Q X×Y;

р = (У, Z, Р), P Y×Z,

причем область значений первого соответствия совпадает с областью определения второго соответствия:

Первое соответствие определяет для любого x X некоторый, возможно и не один, элемент у У. Согласно определению операции композиции соответствий теперь нужно для найденного у У определить z Z, воспользовавшись вторым соответствием. Таким образом, композиция соответствий сопоставляет с каждым элементом х из области определения первого соответствия один или несколько элементов z из области значений второго соответствия.

Естественно, что операцию композиции можно распространить и на большее, чем два, число соответствий.

1.5. ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ

Отображения и их свойства

С понятием соответствия непосредственно связано понятие отображения: всюду определенное соответствие называется отображением X в У, т.е. область определения соответствия равна множеству Х. Записывается как

Г:Х→Y.

Под словом «отображение» часто понимают однозначное отображение. В общем случае каждому элементу x X отображение Г ставит в соответствие некоторое подмножество

Гx ,

называемое образом элемента х. Закон, в соответствии с которым осуществляется соответствие, определяется множеством Г.

Поскольку отображение является частным случаем соответствия, для отображения имеют место введенные при рассмотрении соответствий понятия обратного отображения и композиции отображений.

Важным частным случаем отображения является случай, когда множества X и Y совпадают. При этом отображение Г: Х→Х будет представлять собой отображение множества X самого в себя и будет определяться парой

(X, Г),

где Г Х². Подробным изучением таких отображений занимается теория графов, элементы которой будут рассмотрены.

Функция

Рассмотрим некоторое отображение

f:X→Y.

Это отображение называется функцией, если оно является однозначным, т. е. если для любых пар (х₁, y₁) f и (х₂, у₂) f из х₂=х₁ следует у₂=у₁. Из определения отображения и из приведенных ранее примеров следует, что элементами множеств X и У могут быть объекты любой природы. Наибольший интерес представляют отображения, которые являются однозначными и множество значений которых представляет собой множество вещественных чисел R. Однозначное отображение f называется функцией с вещественными значениями, если У .

Понятие функции является чрезвычайно широким, и изучению отдельных классов функций посвящены многие математические дисциплины (алгебра, тригонометрия и т. п.). Мы рассмотрим только некоторые общие наиболее фундаментальные свойства функции, не касаясь свойств конкретных классов функций.

Пример 1.17. Из данного города в другой можно проехать по железной дороге, автобусом или самолетом. Стоимость билета будет соответственно 7, 9 и 12 тыс. руб. Стоимость билета в этом примере можно представить как функцию от вида транспорта. Для этого рассмотрим множества

Х = {ж. д., авт., сам.}; К={7, 9, 12}.

Функция f: X→Y, получаемая из условий примера, может быть записана в виде множества f={(ж. д., 7), (авт., 9), (сам., 12)}.

Значение у в любой из пар (х, у) f называется функцией от данного х, что записывается в виде y=f(x). Такая запись позволяет вести следующее формальное определение функции:

f = {(x, у) X×Y|y = f(x)},

Таким образом, символ f используется при определении функции в двух смыслах:

1) f является множеством, элементами которого являются пары (х, у), участвующие в соответствии;

2) f(x) является обозначением для у У, соответствующего данному х Х.

Формальное определение функции позволяет установить способы задания функции.

1. Перечисление всех пар (х, у), составляющих множество f (пример 1.17). Такой способ задания функции применим, если X является конечным множеством. Для большей наглядности пары (x, y) удобно располагать в виде таблицы.

2. Во многих случаях как X, так и У представляют собой множества вещественных или комплексных чисел. В таких случаях очень часто под f(x) понимается формула, т. е. выражение, содержащее перечень математических операций (сложение, вычитание, деление, логарифмирование и т. п.), которые нужно произвести над x X, чтобы получить у.

Пример 1.18. Пусть X=Y=R и f = {(x, у) R²|y=x²}. Тогдаf(x)=x².

Иногда для разных подмножеств множества X функции приходится пользоваться различными формулами. Пусть А₁, , А_п — попарно непересекающиеся подмножества X. Обозначим через f_i(x), i=1, ,n формулу, определяющую у при х A_i. Тогда функция f(x) будет определяться выражением

Так, функцию y = f(x) = |x| можно задать в виде

3. Если X и У — множества вещественных чисел, то элементы (х, у) f можно изобразить в виде точек на плоскости R². Полная совокупность таких точек будет представлять собой график функции f(x).

Если X=U×V, то приходим к функции от двух переменных и и v, обозначаемой через f(u, v), где и U и v V. Формальное определение функции двух вещественных переменных будет следующим:

.

Аналогично определяются функции от трех и большего числа переменных.

Обратная функция

Понятие обратной функции применимо для такого отображения f:X→Y, которое, во-первых, является однозначным, т. е. для любых (х₁, у₁) f и (х₂, у₂) f из х₂ = x₁ следует у₂ = у₁, и, во-вторых, является взаимооднозначным, т. е. из х₂≠x₁ следует у₂≠y₁. При выполнении этих условий отображение f:X→Y является однозначным, т. е. определяет функцию y=f(x). Обратное отображение f^-1:Y→X также является однозначным и определяет функцию x=f^-1(y), называемую обратной по отношению к функции y=f(x).

При аналитическом задании функции f принято аргумент как прямой, так и обратной функции обозначать одной и той же буквой, например х. Поэтому для нахождения обратной функции следует уравнение y=f(x) разрешить относительно х и поменять обозначения, заменив х на у и у на х. При этом обратная функция запишется в виде y=f^-1(х).

Функция времени

В основе понятия функции времени лежит множество Т R с элементами t, называемое множеством моментов времени. Время обладает той характерной особенностью, что имеет направление. Это означает, что если t₁, t₂ T и t₁<t₂, то момент t₁ предшествует моменту t₂. Другими словами, Т — упорядоченное множество.

Функция времени определяет отображение f множества моментов времени Т на множество вещественных чисел R:

f:T→R.

Элементами f будут пары (t, х), обозначаемые также через x(t), где t T, x R. Каждая такая пара определяет значение функции в момент t и называется событием или мгновенным значением функции. Полная совокупность пар (t, х), т. е. значений x(t) для всех t Т, и представляет собой функцию времени. Дальнейшее уточнение функции времени связано с уточнением ее области определения, т. е. вида множества Т.

Если T=R, т. е. t может принимать любое вещественное значение от — ∞ до +∞, то функция x(t) называется функцией с непрерывным временем. Примером может служить синусоидальная функция времени x(t) = Asin(wt+φ)), описывающая напряжение в сети переменного тока.

Обычно не интересуют весьма удаленные моменты времени как в прошлом, так и в будущем. Поэтому производят сужение x(t) на ограниченный интервал t₁< t ≤t₂, который обычно считают полузакрытым интервалом и обозначают (t₁, t₂]. Полузакрытые интервалы времени удобны тем, что допускают последовательное сочленение друг с другом. Так, если интервал (t₁, t₂] разбить моментом t^' на два интервала (t_1, t^'] и (t', t₂], то не будет сомнений, к какому интервалу отнести t^'.

Сужение функции x(t), заданной на интервале —∞<t<∞, на интервал (t₁, t₂] называется отрезком функции x(t) и обозначается . Итак, по определению

,

Для осуществления операции сужения часто используют специальную функцию времени, называемую единичной функцией или единичным скачком:

приведенную на рис. 1.9,а.

Рис. 1.9. Единичный скачок и импульсная функция

Так, напряжение, подаваемое на вход прибора, подключаемого к сети в момент t = λ, будет равно:

u(t) = 1(t-λ)х(t) = 1(t-λ)Asin (wt+φ).