Предел функции

Пусть Е- некоторое непустое подмножество множества R действительных чисел, – предельная точка множества Е, - функция, определённая на Е.

Определение. Число называется пределом функции в точке , если

e d>0 d Þ e). (9)

Предел функции в точке обозначается символом . Во всех рассматриваемых далее примерах функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , поэтому мы будем использовать символ . Определение предела в случае аналогично приведённому ( его можно найти в учебнике или конспекте лекций).

Определение. Функция есть бесконечно малая при , если

Функции и называются эквивалентными (f ~ g) при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где .

Определение. Функция есть бесконечно малая относительно при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где При этом пишут Если при этом g- бесконечно малая, то говорят, что f есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с g.

Справедливы следующие предложения.

1. (f(х) ~ g(х)) при .

2. (f(х) ~ g(х)) при

Последнее правило не распространяется на суммы и разности функций, кроме отдельных случаев, например

3. Если f(х) ~ах и g(х) ~bх и , то (f(х) - g(х)) ~(а- b)х.

При вычислении пределов функций полезно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых величин при :

1. sinx~x , ,

2. arcsinx~x, arcsinx =x+o(x),

3. tgx~x , tgx=x+o(x),

4. arctgx ~x, arctgx=x+o(x),

5. ~x , ,

6. ~xlna, ,

7. ~x , ,

8. ~ , ,

9. ~ , ,

10. 1-cosx~ , .

Пример 17. Доказать (найти d(e)), что .

Решение. Заметив, что квадратный трёхчлен имеет корни и , упростим исходное выражение:

.

Тогда соответствующая часть формулы (9) из определения предела функции принимает вид e. Это неравенство будет выполняться, если . Следовательно, можно взять .

Пример 18. Найти предел .

Решение. При многочлены в числителе и знаменателе исходного выражения обращаются в нуль, следовательно, их пределы в точке равны нулю и мы имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение. Разложим многочлены в его числителе и знаменателе на множители, воспользовавшись тем, что является их корнем, с помощью группировки слагаемых или разделив их на х-2:

, .

Получаем Мы снова имеем неопределённость, так как при х=2 числитель и знаменатель последней дроби обращаются в нуль. Разлагаем их на множители, сокращаем и находим искомый предел: .

Пример 19. Найти предел

.

Решение. Имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение, умножив его числитель и знаменатель на множитель , сопряжённый к числителю.

Поскольку , то

.

Пример 20. Найти предел .

Решение. Подставив х=1 в выражения в числителе и знаменателе, убеждаемся в том, что имеется неопределённость вида . Воспользуемся формулами (3), (4). Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на множитель , дополняющий числитель до разности кубов (неполный квадрат суммы), и на множитель , сопряжённый к знаменателю. Получаем

Поскольку , , то

.

Пример 20. Найти предел .

Решение. Дважды применим приём умножения на сопряжённое выражение.

, поскольку при .

Далее,

.

Пример 21. Найти предел a .

Решение. Применим формулу (5) , положив в ней , . Умножив числитель и знаменатель исходной дроби на выражение и учитывая, что оно стремится к 5, получаем:

Пример 22. Найти предел .

Решение. 1-й способ. Сделаем замену переменной:

По

предложению 3 выражение в числителе эквивалентно , следовательно,

2-й способ. Сделаем замену переменной и воспользуемся формулой 9 из таблицы эквивалентных бесконечно малых.

Пример 23. Вычислить предел функции

Решение. Воспользовавшись формулами приведения и табличными эквивалентностями, получаем

Пример24. Вычислить предел функции

.

Решение. Заметив, что все сомножители в числителе и знаменателе исходного выражения есть бесконечно малые при , заменим их, кроме , на эквивалентные:

Получаем

.

Пример 25. Вычислить предел функции .

Решение. 1-й способ. Преобразуем исходное выражение и разделим числитель и знаменатель на х: . Тогда по арифметическим свойствам предела . По таблице заменяем выражения на эквивалентные и переходим к пределу в каждом слагаемом:

2-й способ. Поскольку , то . Точно так же и при . Воспользовавшись этими соотношениями, получаем

.

Пример 26. Вычислить предел функции

.

Решение. Вынесем в знаменателе исходного выражения множитель и учтём, что : . Теперь сделаем замену переменной, воспользуемся формулой приведения и табличными эквивалентностями:

.

.

Пример 27. Вычислить предел функции

Решение. 1-й способ. Преобразуем числитель исходного выражения:

Используя последнее равенство, приём умножения на сопряжённое выражение, предел и табличные эквивалентности, получаем:

+ + =

+ + = + 1 +

2-й способ. Последовательно используя табличные формулы

при , получаем

Пример 28. Вычислить предел функции

Решение. Сделаем подстановку и воспользуемся табличными формулами:

Пример 29. Вычислить предел функции

Решение. Сделаем подстановку :

(10)

Преобразуем выражение

Подставляем полученное выражение в (10):

Пример 30. Вычислить предел функции

Решение.

Мы воспользовались свойствами логарифма и тем, что есть бесконечно большая, а и -бесконечно малые при

Пример 31. Найти предел

Решение. Понизим степень в исходном выражении и вынесем n из-под корня: Теперь используем табличное представление , где при , формулу приведения и то, что (непрерывность косинуса):

Пример 32.Вычислить предел функции

Решение.Величина является ограниченной, а x - бесконечно малой при . Поэтому их произведение есть бесконечно малая. Далее, поэтому ; . Отсюда

Пример 33.Вычислить предел функции

Решение.Воспользуемся тем, что если , то В нашем случае , Тогда