Непрерывность функции

Определение. Функция , заданная на множестве Е R,называется непрерывной в точке а Е, если

(13)

Отсюда следует, что в изолированной точке множества Е функция непрерывна (см. пример 41); если же а - предельная для множества Е, то (13) означает, что

Пример 38.Доказать, чтофункция непрерывна в точке а=2(найти ).

Решение. 1-й способ.Посколькуопределена при всехзначениях R,тоЕ= R и(13) принимает вид:

Переходим к неравенству для значений функции:

(14)

Пусть выполненонеравенството естьТогда Если теперь потребовать, чтобы выполнялось неравенство ,то неравенство (14) также будет выполнено:Итак, для выполнения последнего неравенствапотребовалось, чтобыи .Поэтому

Й способ. Неравенство для значений функции выполнено, если выполнено неравенство

Последнее неравенство, (квадратное относительно ) выполнено, если Таким образом,

Рис.1

3-й способ. Найдём по графически (см. рис. 1) и получим такой же результат, как для второго способа (в этом легко убедиться самостоятельно).

Пример 39.С помощью « » рассуждений доказать непрерывность следующих функций: 1) :2) .

Решение.1).Пусть Тогда если . Кроме того, должно выполняться условие ,откуда и При а=0 если ( в качестве окрестности нуля в множестве Е=D(f) берётся ).

2). Покажем, что для любых х и а

(15)

Из определения арктангенса и с помощью замены переменной получаем, что это неравенство равносильно неравенству

где (16)

Если х и а одного знака, то

Мы воспользовались известным неравенством Из него же следует справедливость (16) для х и а разного знака. Из неравенства (15)следует, что в качестве искомого можно взять : если , то получаем, что

Пусть функция определена в точках некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.

Определение. Точка а называется точкой разрыва функции , если она не определена в точке а или определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

Если а – точка разрыва и существуют конечные пределы и , то а называется точкой разрыва первого рода. Если при этом , то а называется точкой устранимого разрыва.

Точки разрыва функции , не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода. Если при этом или , то а называется точкой бесконечного разрыва.

Если в некоторой полуокрестности слева или справа от а не определена, то для определения характера разрыва рассматривают только или .

Пример 40. Найти точки разрыва функции

и исследовать их характер.

Решение. В точках функция непрерывна, поскольку является произведением или частным непрерывных функций. В точке оба односторонних предела существуют и не равны: . Следовательно, - точка разрыва первого рода. В точке х=1 , следовательно, - точка разрыва второго рода

( точка бесконечного разрыва).

Пример 41. Определить точки разрыва функции и исследовать их характер.

Решение. Находим область определения функции: Отсюда или . На функция непрерывна: на множестве в силу арифметических свойств и непрерывности корня, а в точках - поскольку они являются изолированными (отдельными) точками . Таким образом, точками разрыва могут быть только . Находим . Поскольку чётная, то и . Следовательно, - точки устранимого разрыва.

Пример 42. Исследовать на непрерывность функцию и построить её график.

Решение. Пусть х>0. При х>1 и у=0. При у=1. При и Таким образом, при

(одновременно строим график, рис. 2 ); Следовательно, , являются для у точками разрыва первого рода. Пусть теперь х<0. При х < -1 и .При , у=1. При и Таким образом, при Получаем, что и точки , являются точками разрыва первого рода. Поскольку то х=0 является точкой устранимого разрыва. Во всех остальных точках функция непрерывна.

Рис. 2