Предел числовой последовательности. Определение I.9.1. Числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве : .

Определение I.9.1. Числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве : .

Вобщем виде последовательность будем записывать так или . называются членами последовательности, а – общим членом.

Последовательности, как и функции, бывают возрастающие, убывающие, ограниченные, неограниченные. Например, последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, то есть и убывающей, если .

Определение I.9.2. Число b называется пределом последовательности , если для любого как угодно малого положительного числа существует натуральное число такое, что при любом n, большем, чем , выполняется неравенство или .

Неравенство равносильно неравенству и означает, что попало в интервал . Такой интервал называется - окрестностью числа b и обозначается ,ачисло e –радиусом этой окрестности. Используя e - окрестности, пределу последовательности можно придать достаточно простой геометрический смысл (см. определение 3).

Определение I.9.3. Число b называется пределом последовательности , если в любую как угодно малую e - окрестность этого числа попадают все члены последовательности, начиная с некоторого ("хвост" последовательности): .

Определение I.9.4. Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, а не имеющая его – расходящейся.

Определение I.9.5. Последовательность называется бесконечно большой , если для любого как угодно большого положительного числа М существует натуральное n₀ такое, что для всех n > n₀выполняется неравенство