Некоторые свойства сходящихся последовательностей

Теорема I.10.1. Сходящаяся последовательность может иметь только один предел.

Теорема I.10.2 (необходимое условие сходимости последовательности). Если последовательность сходится, то она ограничена.

Теорема I.10.3. Если предел последовательности существует и отличен от нуля, то последовательность —ограничена.

Теорема I.10.4. Пусть имеем две последовательности и и пусть , причем . Тогда, начиная с некоторого номера выполняется неравенство . Или, иначе говоря, неравенство влечет за собой неравенство при .

Теорема I.10.5. Пусть имеем две последовательности и , и пусть существует и равен a, существует и равен b и , тогда . При этом в случае строгого неравенства пределы а и b могут быть равны. Иначе говоря, требуется доказать, что из неравенства следует неравенство .

Следствия: 1. Если при выполняется неравенство (или ) для некоторого числа r и существует , то (или ).

В частности при r = 0, если все члены последовательности, начиная с некоторого, положительны, то предел ее неотрицателен.

2. Если существует и больше числа r (меньше r), то и члены последовательности, начиная с некоторого, также будут больше числа r (меньше r).

Теорема I.10.6 (о промежуточной переменной). Пусть даны 3 последовательности и пусть при выполняется неравенство .Пусть также = . Тогда существует и он равен числу а.

Теоремы 4–6 называются теоремами о предельном переходе в неравенствах.