КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Некоторые свойства сходящихся последовательностейТеорема I.10.1. Сходящаяся последовательность может иметь только один предел. Теорема I.10.2 (необходимое условие сходимости последовательности). Если последовательность сходится, то она ограничена. Теорема I.10.3. Если предел последовательности существует и отличен от нуля, то последовательность —ограничена. Теорема I.10.4. Пусть имеем две последовательности и и пусть , причем . Тогда, начиная с некоторого номера выполняется неравенство . Или, иначе говоря, неравенство влечет за собой неравенство при . Теорема I.10.5. Пусть имеем две последовательности и , и пусть существует и равен a, существует и равен b и , тогда . При этом в случае строгого неравенства пределы а и b могут быть равны. Иначе говоря, требуется доказать, что из неравенства следует неравенство . Следствия: 1. Если при выполняется неравенство (или ) для некоторого числа r и существует , то (или ). В частности при r = 0, если все члены последовательности, начиная с некоторого, положительны, то предел ее неотрицателен. 2. Если существует и больше числа r (меньше r), то и члены последовательности, начиная с некоторого, также будут больше числа r (меньше r). Теорема I.10.6 (о промежуточной переменной). Пусть даны 3 последовательности и пусть при выполняется неравенство .Пусть также = . Тогда существует и он равен числу а. Теоремы 4–6 называются теоремами о предельном переходе в неравенствах.
|