Понятие простого и сложного процента

Лекция по МЭ

В зависимости от условий проведения финансовых операций, как наращение, так и дисконтирование, могут осуществляться с применением простых сложных или непрерывных процентов.

1. Простые проценты. Пусть исходный инвестируемый капитал равен PV; требуемая норма доходности r (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестируемый капитал ежегодно увеличивается на величину ….. Таким образом, размер инвестированного капитала через n лет равен:

(1)

где FV – будущая стоимость;

PV-сумма основного долга;

n – срок вклада в годах;

r – простая процентная ставка в долях единицы.

Например, если 1000 единиц разместить на 6 месяцев под 4% годовых, то будущая стоимость депозита составит: 1000[1+(0,04х0,5)]=1020. Заметьте, как показаны 4% в данной ситуации; 4%=0,04, т.е. проценты выражаются в виде десятичной дроби.

Как правило, простые проценты ( simple interest) используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше года. Базой для исчисления процентов за каждый период в этом случае является первоначальная (исходная сумма сделки).

В общем случае, наращение и дисконтирование по ставке простых процентов осуществляют по следующим формулам (наращение и дисконтирование может также осуществляться по учетной ставке d):

(2)

(3)

где n- число периодов;

r- ставка процентов.

В общем случае можно сказать, что размер начисленных процентов и соответственно будущая стоимость зависят от процентной ставки срока до погашения обязательства.

Замечание:

Соглашения по подсчету дней и простые проценты.

Одна из сложностей, которая возникает при вычислении простых процентов, - это соглашения, принятые на данном конкретном рынке по подсчету количества дней. По всем финансовым инструментам наращение происходит ежедневно, однако существуют расхождения между разными рынками в подсчете процентов – одни берут за основу 360 дней в году, а другие – 365 дней или 366 в високосном году. Кроме того, на некоторых рынках принимается в месяце 30 дней, независимо от их реального количества. В Великобритании по денежным инструментам, деноминированным в фунтах стерлингов, используют 365 дней в году при начислении процентов. Во многих других финансовых центрах, а также в Лондоне по финансовым инструментам, деноминированным не в фунтах стерлингов, расчет из 360 дней в году.

Результаты наращения будут различными в зависимости от варианта расчета.

Возможны три варианта:

А) точный процент и точное число дней финансовой операции (исчисляется исходя из точного числа дней – 365 или 366);

Б) обыкновенный процент и точное число дней финансовой операции (исчисляется исходя из приближенного числа дней в году – 360);

В) обыкновенный процент и приблизительное число дней финансовой операции (исчисляется исходя из приближенного числа дней в году – 360 и предположения, что в месяце 30 дней).

2. Сложные проценты.Применяются в долгосрочных финансовых операциях, со сроком проведения более одного года. Вместе с тем они используются и в краткосрочных финансовых операциях, если это предусмотрено условиями сделки, либо это вызвано объективной необходимостью (например, высоким уровнем инфляции, риска и т.д.). База для исчисления процентов за период включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени процентов.

Наращение по сложным процентам относится к периодическому добавлению накопленных процентов к основной сумме. Проценты в дальнейшем начисляются уже на эту увеличенную сумму.

В этом случае размер инвестированного капитала будет равен:

к концу первого года:

; (3)

к концу второго года:

(4)

Общая формула для расчета будущей стоимости денег при ежегодном начислении процентов выглядит так:

Совершенно очевидно, что инвестиция на условиях сложного процента более выгодна.

Пример. Денежная сумма в размере 1000 единиц помещается на банковский депозит, на срок 3 года с годовой процентной ставкой 6% и ежегодным начислением процентов. Стоимость денег, помещенных на депозит, через 3 года рассчитывается так:

1000(1+0,06)³=1191,016.

Замечание:

При начислении процентов за дробное число лет более эффективна смешанная схема, предусматривающая начисление сложных процентов за целое число лет и простых процентов за дробную часть года.

Во многих финансовых операциях начисление происходит чаще, чем один раз в год. Например, в практике выплаты дивидендов нередко оговариваются величина годового процента и частота выплаты. Если обозначить количество периодов начисления в году через m, торасчет будущей стоимости денег выглядит так:

(5)

r – объявленная годовая ставка;

m – количество начислений в году;

n - количество лет.

Следует заметить, что величина поэтому с увеличением m (начисляя проценты чаще) бесконечного увеличения значения будущей стоимости денег не происходит.

В пределе можно предположить, что начисления становятся настолько частыми, что проценты начисляются непрерывно, тем самым, увеличивая основную сумму в экспоненциальной зависимости.

3. Непрерывные проценты представляют главным образом теоретический интерес и редко используются на практике. Они применяются в особых случаях, когда вычисления необходимо производить за бесконечно малые промежутки времени.

Будущая стоимость денег при непрерывном наращении определяется как

, (6)

где e – экспоненциальная константа (2,71828…),

n – количество лет или соответствующие доли лет.

Как будет показано далее, приведение процентных ставок с различной частотой начисления к эквивалентным ставкам с непрерывным наращением позволяет сопоставить их между собой.

Графически изменение накапливаемой суммы в зависимости от частоты начисления имеет следующий вид:

Fn

Fn

Fn

а)ежегодное

б)полугодовое

в)непрерывное

начисление

начисление

начисление

Год

Год

Год

Рис. Различные варианты начисления процентов.