Анализ учебно-методической литературы и программных реализаций поиска оптимума функции нескольких переменных

Кратко проанализируем содержание монографий и учебной литературы по теме «Безусловная оптимизация функции многих переменных». Эта тема рассматривается во многих литературных источниках, рассмотрение которых позволило достаточно полно классифицировать методы и варианты алгоритмов (приведено в разделах 1.1-1.4). Мы попытаемся проанализировать имеющиеся источники со следующих позиций:

· полнота изложения материала (т.е. описание наибольшего количества методов решения задачи и степень подробности описания методов и алгоритмов);

· доступность изложения материала (т.е. возможность понимания его студентами технических специальностей);

· возможность использования программ в качестве обучающих.

Остановимся подробнее на учебно-методических изданиях. Раздел «поиск кстремума функций многих переменных» присутствует практически во всех солидных учебниках и справочниках по математике, например в [13, 43]. Но изложение материала в таких справочниках, например в [43], как и в учебниках для классических университетских математических специальностей, трудно воспринимается студентами технических специальностей. Это же характерно и для большинства специализированных изданий, ориентированных в большей степени на научных работников. Такие многочисленные источники не включены в список литературы.

Охарактеризуем методические издания с долее доступным изложением материала. В первую очередь – выпущенное в 2007 году издательством БГТУ учебное пособие Б.В. Порошина [37]. В этом пособии предпринята попытка компактно изложить достаточно общую постановку задачи. Однако последующий опыт преподавания по этому пособию показал, что этот раздел изложен слишком кратко и поэтому трудно понимается студентами заочного отделения, для которых учебное пособие предназначено.

Учебные пособия по методам безусловной оптимизации [7-10, 25, 33, 46, 48, 50-52] имеют различный объем, в них с различной степенью подробности рассмотрены основные методы, имеются некоторое количество подробно расписанных примеров, что облегчает усвоение материала. Современные электронные учебники [7, 25, 33, 46, 51-52] также существенно различаются как по общности подходов и полноте изложения материала, так и по степени доступности изложения, а также по наличию подробно разобранных примеров. Имеются методические указания для практических и лабораторных работ по рассматриваемой теме. Все эти и другие источники составили основу теоретического доступного и полного (на наш взгляд) изложения материала в разделах 1.1-1.4 настоящей работы, из них можно набрать серию уроков для обучения и вопросов для тестирования.

Выполним краткий анализ программных реализаций безусловной оптимизации. Задачу оптимизации можно решить с использованием известных математических пакетов или даже в табличном процессоре, например – в EXCEL [26]. Для этого можно применить процедуру «Поиск решения», при настройке которой можно выбрать несколько вариантов метода решения. В том числе – метод сопряженных градиентов или метод Ньютона. Процедура такого решения задачи тривиальна, но при этом обучающий эффект незначителен, т.к. не выводятся результаты решения отдельных шагов, не выдается резолюция, почему решение не найдено, если возникает такая ситуация. Близки к этому варианты реализации отыскания экстремумы в таких известных пакетах, как MathCad и MahtLab [54].

Приведем пример описания методики поиска экстремума функции двух переменных в Excel и Mathcad по методическим указаниям [26], изданных в БГТУ.. Требуется построить график двумерной поверхности в Excel и Mathcad и найти точку минимума. Для примера рассмотрена [26] функция . На рис. 1.31 приведены поверхности , построенные в Mathcad и в Excel

а) б)

Рис. 1.31. Поверхности функции двух переменных в Mathcad (а) и в Excel (б)

Причем для построения поверхности в Excel потребовалось протабулировать функцию двух переменных (рис. 1.32).

Рис. 1.32. Табулирование функции двух переменных в Excel

Задания на отыскания минимума функции в Mathcad и в Excel показаны на рис. 1.33. В Mathcad используется функция Minimize (рис. 1.33а), в Excel - процедура «Поиск решения» (рис. 1.33б)

а) б)

Рис. 1.33. Задание на поиск минимума функции в Mathcad(а) и в Excel (б)

В результате выполнения получаем искомую точку x=1,5; y=2,5, сообщающую минимум функции. Эти параметры в Mathcad появляются на панели задания на минимизацию (справа внизу на рис. 1.33а). В Excel эти значения появляются в ячейках К1 и А14 (рис. 1.34), заданных на панели «Поиска решения» (рис. 1.33б), как ячейки с изменяемым содержимым.

Рис. 1.34. Результаты поиска решения с найденными значениями в целевой и в изменяемых ячейках

Эти и другие варианты реализации алгоритмов и методов поиска экстремума нацелены на решение конкретных математических задач, а не на обучение самим методам. Поэтому нет вывода результатов по шагам (итерациям), не описано, производится ли смена метода или регуляризация матрицы Гессе, если сходимость нарушается.

Отметим, что в Интернете имеется достаточно много предложений решить подобную задачу бесплатно или за небольшую плату, например по ссылке [40]. Причем, большинство этих предложений исходят от частных лиц, разработавших данный сервис. В некоторых из указанных случаев решение сопровождается подробным выводом действий и комментариев к этим действиям. Функциональность разных программ различается по полноте, но для решения задачи достаточна. Во многих случаях выдается отчет, который может являться отчетом по контрольной работе или по примеру, рассматриваемому в реферате. То есть, в некоторой мере реализован обучающий эффект.

Сформулируем краткие выводы по обзору публикаций и программных реализаций методов отыскания экстремума функции нескольких переменных. Несмотря на тот факт, что эти методы рассмотрены во многих публикациях и имеются многочисленные программные реализации, практически ко всем из них можно высказать следующие критические замечания:

1. Обычно излагают и реализуют частные случаи постановки задачи. Тем не менее, выполнив обобщение информации из разных источников, имеется возможность сформулировать достаточно общие варианты алгоритмов решения (см. разделы 11- 1.4).

2. Большинство известных программных реализаций тоже не рассматривают общие случаи. Кроме того, большинство вариантов реализации алгоритмов и методов поиска экстремума нацелены на решение конкретных математических задач, а не на обучение самим методам. Но имеются программы, в которых реализован некоторый обучающий эффект . При разработке полноценной АОС следует использовать имеющийся опыт.

3. Имеющейся информации достаточно для разработки основ АОС по методам отыскания экстремума функций двух переменных. На данном этапе имеет смысл построить простейшую (разомкнутую) обучающе-тестирующую систему. Причем обучающую часть следует выполнять презентационного типа – после введения параметров конкретной задачи , программа выполняет ее решение и выводится на экран решение с достаточно подробным описанием всех шагов.

4. Учитывая, что может быть большое количество обучаемых и каждый из них может тестироваться неоднократно, необходимо генерировать много вариантов заданий.

5. Имеется небольшое количество электронных учебников, на основе которых можно получить материал для наполнения АОС учебным материалом и тестами, соответствующим образом доработав и усовершенствовав эти материалы.

6. В рамках данной дипломной работы кроме построения основ АОС по указанной теме, можно ограничиться формулировкой подробных алгоритмов (см. разделы 1.1 – 1.4) и реализацией нескольких вариантов алгоритмов.