Функция Розенброка (овражная функция)

Экстремум гладкой тригонометрической функции достаточно просто. Поэтому в качестве второго (более сложного) примера выбрана «овражная» функция (функция Розенброка)

f=100*(y-х²)² +(1-х)²

а) б)

Рис. 3.1. Схема сходимости при поиске минимума тригонометрической функции при начальном шаге о,5 (а) и при 1.5 (б)

Эта функция принимает минимальное значение f= 0 при х= 1, y= 1.. Зададим допустимую погрешность значения функции 10^-8 и начальное приближение х₀=4, y₀=. Также решали задачу поиска минимума двумя методами.

Если в методе циклического покоординатного спуска задать начальный шаг 0,5, то минимальное решение (f=1,5*10^-6) было найдено за 22991 итерацию, на которые потрачено время 0, 0246 секунды. При этом конечные значения точки минимума следующие: х=1, 001228; y=1, 002457. Если в этом же методе задать начальный шаг 1,5, то минимальное решение (f=2,2235*10^-5) будет найдено за 16261 итераций, на которые потрачено практически то же самое время 0, 0211 секунды. При этом конечные значения точки минимума следующие: х=1,004715; y=1,009445.

Если для решения этой же задачи применить метод наискорейшего спуска, то практически точное минимальное решение (f=0) будет найдено всего за 404 итерации, и времени на них затрачено всего 0,01768 секунды. При этом получены практически точные значения точки минимума: х=1; y=1. Т.о. для овражной функции метод наискорейшего спуска дает лучшие результаты и по точности решения задачи и по затратам времени. Построенные в MathCad графически нескольких первых шагов (итераций) представлены на рис. 3.2.

а) б)

Рис. 3.2. Схема сходимости при поиске минимума овражной функции при начальном шаге о,5 (а) и при 1.5 (б)

Сформулируем выводы проведенных исследований. На рис. 3.1-3.2. с применением MathCad построены реальные схемы сходимости решаемых тестовых задач. Для этого результаты итераций перенесены в MathCad и для нескольких первых итераций построены кусочно-линейные интерполяционные линии, т.е. точки приближений на двух соседних итерациях соединялись отрезками прямых. Причем MathCad позволяет нанести на одной координатной плоскости оба графика: сплошными линиями нанесена схема сходимости по методу покоординатного спуска, пунктирными – по методу наискорейшего спуска.

Выводы следующие:

· по методу наискорейшего спуска переход в некоторую точку приближения к минимуму осуществлялся за меньшее количество шагов (итераций), чем по методу покоординатного спуска;

· но по затратам машинного времени ситуация неоднозначна, для функции Розенброка МНС потребовал меньше машинного времени, а для первой иследованной функции (тригонометрической)– больше;

· аналогичные исследования можно предлагать студентам на этапе обучения и тестирования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах / И.Л. Акулич. М.: Высшая школа, 1993. - 335 с.

2. Архангельский, А.Я. Delphi 2006. Справочное пособие. Язык Delphi, классы, функции Win32 и .NET/ А.Я.Архангельский. – М.: Бином-Пресс, 2006.– 1152 c.

3. Архангельский, А.Я. Приемы программирования в Delphi на основе VCL / А.Я. Архангельский. – М.: Бином-Пресс, 2006. – 944 с.

4. Архангельский, А.Я. Программирование в Delphi для Windows. Версии 2006, 2007, TurboDelphi / А.Я. Архангельский. – М.: Бином-Пресс, 2007. – 1225 с.

5. Аттетков, А.В Методы оптимизации Учеб. для вузов / А.В.Аттетков, С.В.Галкин, В.С. Зарубин. - М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. - 440 с.

6. Банди Б. - Методы оптимизации – Режим доступа: books4study.info›text-book4125.html

7. Безусловная оптимизация в САПР Режим доступа: optimizaciya-sapr.narod.ru›bezusl_opt

8. Васильев, О.В. Методы оптимизации в задачах и упражнениях [Текст]/ О.В. Васильев, А.В. Аргучинцев - М.: Физматлит, 2003. – 576 с.

9. Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. М.: Наука, 1980. - 518 с.

10. Васильев, Ф.П. Методы оптимизации/ Ф.П. Васильев.-М.: Факториал пресс, 2002. - 824 стр.

11. Вендров, А.М. Проектирование программного обеспечения экономических информационных систем: Учебник / А.М. Вендров. – М.: Финансы и статистика, 2006. -352 с.

12. Войтов, А.Г. Учебное тестирование для гуманитарных и экономических специальностей. Теория и практика / А.Г. Войтов. – М.: Дашков и К°, 2006.- 467 с.

13. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я.Выгодский.- М.:Физматлит, 1963. – 870 с.

14. Гагарина, Л.Г. Технология разработки программного обеспечения / Л.Г. Гагарина, Е.В. Кокорева, Б.Д. Виснадул. – М.: Форум, 2007 – 362 с.

15. Гилл, Ф. Практическая оптимизация. Пер. с англ. / Ф.Гилл ,У. Мюррей, М.Райт — М.: Мир, 1985 -378 с.

16. Гультяев, А.К. Проектирование и дизайн пользовательского интерфейса / А.К. Гультяев, В.А. Машин. – СПб.: Корона-Принт, 2007.- 342 с.

17. Демиденко, И.А. Выполнение студентами организационно-экономической части дипломной работы (проекта) специальностей «И и ПО»: методические указания / И.А. Демиденко. – Брянск: БГТУ, 2004. – 24 с.

18. Демиденко, И.А. Методические указания по выполнению экономической части студентами специальностей кафедры «И и ПО» / И.А. Демиденко, А.И. Демиденко. – Брянск: БГТУ, 2004. – 24с.

19. Диаграмма потоков данных. Графический язык диаграммы. Примеры – 2009-2011. – Режим доступа: http://e-educ.ru/bd14.html

20. Дистанционный курс обучения по дисциплине "Методы оптимизации" Режим доступа... dl.sumdu.edu.ua›e-pub/mo/rus/m_simpl.html

21. Дэннис Дж., мл. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений: Пер. с англ./ Дж. Дэннис мл., Р.Шнабель. — М.: Мир, 1988. — 440 с.

22. Жиглявский, А. А. Методы поиска глобального экстремума./ А.А. Жиглявский ,А.Г. Жилинкас — М.: Наука, Физматлит, 1991- 345 с.

23. Измаилов, А.Ф., Численные методы оптимизации [Текст] : Учебное пособие./ А.Ф. Измаилов. - М.: Физматлит, 2005. – 484 с.

24. Илюшечкин, В.М. Основы использования и проектирования баз данных / В.М. Илюшечкин. – М.: Юрайт, 2011. – 213 с.

25. Интерактивный видео-курс по оптимизационным методам и моделям... Режим доступа: marcony.net›index/0-5

26. Информатика. Решение задач вычислительной математики с помощью программ Excel и Mathcad [ЭР]: методические указания к выполнению курсовой работы для студентов очной формы обучения технических специальностей. – Брянск: БГТУ, 2011. – 64с.

27. Карпова Т.С. Базы данных : модели, разработка, реализация / Т.С. Карпова – СПб.: Питер, 2005. - 458 с.

28. Кирюшов Б.М. Прямые методы отыскания экстремума и основы математического программирования. -Рабочий учебник/ Б.М.Кирюшов. - [ЭР] 2009- http://lib/library

29. Коберн, А. Современные методы описания функциональных требований к системам / А. Коберн. – М.: Лори, 2011. – 263 с.

30. Липаев, В.В. Тестирование компонентов и комплексов программ / В.В. Липаев. – М.: СИНТЕГ, 2010. – 400 с.

31. Майоров, А.Н. Теория и практика создания тестов для системы образования: Как выбирать, создавать и использовать тесты для целей образования / А.Н. Майоров. – М.: Интеллект-центр, 2002. – 388 с.

32. Маклаков, С. В. BPwin и ERwin. CASE-средства разработки информационных систем / С. В. Маклаков. – М.: Диалог-МИФИ, 2000. – 256 с.

33. Методы безусловной оптимизации [ЭР] Режим доступа: http://bigor.bmstu.ru/?cnt/?doc=120_Opt/5005.mod/?cou=140_CADedu/CAD.co

34. . Методы оптимизации функций многих переменных: Метод. Указ. к лаб. раб. / сост. С.Д. Чернина. Екатеринбург: УГТУУПИ, 2007. -36 с.

35. Михайлов, Ю.М. Охрана труда в образовательных учреждениях / Ю.М. Михайлов. – М.: Альфа-Пресс, 2009. – 346 с.

36. . Пантелеев, А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах / А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. М.: Высшая школа, 2005. - 544 с

37. Порошин, Б.В. Вычислительная математика: Сборник заданий/ Порошин Б.В.. – Брянск: БГТУ, 2007. – 104 с.

38. Проскурнин, А.А. Автоматизированная система контроля знаний / А.А. Проскурнин. // Сб. науч. тр. института / РГПУ. – Ростов, 2009. – 157 с.

39. Раскин, Д. Интерфейс: новые направления в проектировании компьютерных систем / Д. Раскин. – СПб.: Символ-Плюс, 2010. – 245 с.

40. Решение задач по математике online.:Copyringht. – 2010-2012. Режим доступа: www.reshmat.ru.

41. Рудаков, А.В. Технология разработки программных продуктов / А.В. Рудаков. – М.: Издательский центр "Академия", 2006. – 198 с.

42. Санитарные правила и нормы: Гигиенические требования к персональным ЭВМ и организации работы: СанПиН 2.2.2./2.4.1340-03 / Минздрав России. Введ.30.06.03. – М., 2003. – Режим доступа: http://www.nntu.ru/RUS/zakon/normativ/sanpin222241340-03.ht

43. Справочник по математике (для научных работников и инженеров)/Г.Корн, Е.Корн : М. Гл. ред. Физматлит, 1978. – 832 с.

44. ТОИ Р-01-00-01-96 «Типовая инструкция по охране труда для операторов и пользователей персональных электронно-вычислительных машин (ПЭВМ) и работников, занятых эксплуатацией ПЭВМ и видеодисплейных терминалов (ВДТ)».

45. Тотай, А.В. Безопасность жизнедеятельности. Методические указания к выполнению расчетно-практической работы для студентов дневного и вечернего отделения / А.В. Тотай, С.С. Филин, В.В. Радьков, М.Н. Нагоркина. – Брянск: БГТУ, 2000. – 16с.

46. Трифонов, А.Г.. "Постановка задачи оптимизации и численные методы ее решения"/ А.Г.Трифонов[ЭР] Математика\Optimization Toolbox

47. Филин, C.C. Безопасность жизнедеятельности. Расчет системы защитного заземления. Методические указания к выполнению расчетно-практической работы для студентов дневного и вечернего отделений всех специальностей / C.C. Филин - Брянск: БГТУ, 2000. – 14с.

48. Фурунжиев, Р.И. Применение математических методов и ЭВМ: Практикум/ Р.И. Фурунжиев, Ф.М. Бабушкин, В.В. Варавко. Мн.: Выш.шк. 1988.- 191с.

49. Челышкова, М.Б. Теория и практика конструирования педагогических тестов. Учебное пособие / М.Б. Челышкова. – М.: Логос, 2002. – 324 с.

50. Черноруцкий, И.Г. Методы оптимизации в теории управления [Текст] : Учебное пособие / И.Г.Черноруцкий.– СПб., Питер, 2004 - 456с.

51. Численные методы безусловной оптимизации с итеративным обучением. [ЭР] / Режим доступа:.referun.com›n…metody-bezuslovnoy-optimizatsii…ih

52. Численные методы оптимизации [ЭР] / А.Ф. Измаилов, М.В. Солодов Режим доступа: https://knigafund.ru›books/106298

53. Шумилов, М.И. Microsoft Access 2007. Лучший самоучитель / М.И. Шумилов, С.В. Глушаков, А.С. Сурядный. – М.: АСТ, 2008. – 448 с.

54. MATLAB. Консультационный центр MATLAB компании Softline // Численные методы безусловной оптимизации нулевого порядка URL: http...sciyouth.ru›sites/93/mni_.