П.3. Основные свойства

1.Монотонныефункции

Определение 6.5.Пусть функция задана на некотором множестве D(f). Данная функция называется возрастающей (убывающей) на множестве Е Ì D(f), если для любых х₁ и х₂ из множества Е, таких что х₁ < х₂, выполняется неравенство

.

Иначе: функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве Е, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее (меньшее) значение функции (рис. 12).

Рис.12

Если же для любых значений х₁, х₂, взятых из некоторого множества Е Ì D(f) и удовлетворяющих условию х₁ < х₂, вытекает некоторое неравенство f(х₁) £ f(х₂) (или

f(х₁) ³ f(х₂)), то функция называется неубывающей (невозрастающей) на множестве Е.

Пример 6.6. Доказать, что сумма двух возрастающих ( убывающих ) на множестве Е функции есть функция возрастающая ( убывающая) на этом множестве.

2. Функции чётные и нечётные

Определение 6.6.Функция называется четной (нечетной), если

1) т.е. – симметричное множество относительно 0;

2) .

Из курса СШ известны чётные функции

нечётные функции

Есть функции, которые не являются ни четными, ни нечетными

Есть функции, которые одновременно являются четными и нечетными

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 6.7. Доказать, что произведение чётной функции на нечётную есть функция нечётная.

3. Периодические функции

Определение 6.7. Функция называется периодической, если существует такое число l ¹ 0 (называемое периодом), что для каждой точки области определения функции выполняются условия:

1)

2) .

Из курса СШ известны периодические функции

Пример 6.8. Доказать, что если число l - период функции, то число kl (k=–1, ±2, …) также является периодом.

4. Ограниченные и неограниченные функции

Определение 6.8. Функция называется ограниченной на множестве Е , если существует такое число М>0, что для каждой точки из множества Е выполняется неравенство: .

Определение 6.9. Функция называется ограниченной на множестве Е, если существует такое число М>0, что для каждой точке области определения функции выполняется неравенство: .

Из курса СШ известны ограниченные функции