Декартово произведение множеств.

Лекция 2.

П.2. Декартово произведение. Мощность множества.

Декартово произведение множеств.

Упорядоченная пара интуитивно определяется как совокупность, состоящая из двух элементов x и y, расположенных в определенном порядке. Две пары и считаются равными тогда и только тогда, когда x=u и y=v.

Определение 2.1. Пусть A и B – два множества. Прямым (декартовым) произведением двух множеств A и B называется множество всех упорядоченных пар, в котором первый элемент каждой пары принадлежит A, а второй принадлежит B:

.

Пример 2.1. Пусть и . Тогда

.

.

,

Пример 2.2. На координатной плоскости построить следующее множество:

(-1; 3]×[1; 3)

Решение. Первое множество помещаем на оси OX, второе на оси OY. Множество всех пар, т.е. декартово произведение, изображается точками заштрихованного прямоугольника, но без левой и нижней стороны.

,

Как вы знаете, точка на плоскости может быть задана упорядоченной парой координат, то есть двумя точками на координатных осях. Поэтому координатную плоскость можно задать в виде . Метод координат ввел в употребление Рене Декарт (1596-1650), отсюда и название «декартово произведение».

В частности, если A пусто или B пусто, то, по определению, A´B пусто.

Понятие прямого произведения допускает обобщение.

Прямое произведение множеств A₁, A₂, …, A_n – это множество наборов (кортежей):

.

Множества A_i не обязательно различны.

Степенью множества A называется его прямое произведение самого на себя. Обозначение:

.

Соответственно, и вообще .

Пример 2.3. Пусть B={0, 1}. Описать множество Bⁿ.

Решение. Множество Bⁿ состоит из последовательностей нулей и единиц длины n. Они называются строкой бит или битовой строкой длины n.

,